KHOÁ HỌC: ĐẠI SỐ - KỸ THUẬT
Chương 04: MA TRẬN – ĐỊNH THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH
TUYẾN TÍNH
BÀI TẬP ĐỊNH THỨC – MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Bài 1. Tính những lăm le thức sau:
a)
Bạn đang xem: bài tập định thức có lời giải
213
5 3 2
143
b)
a b c b c a c a b
c) 2 2
11 ε 11 ε , ε cos 2 π i sin2π 33 ε ε 1
=+
d)
1 3 5 1
2 1 1 4
5 1 1 7
7 7 9 1
−
−−
−
e)
1 a 0 2 2 1 1 3 2 0 1 1 3 2 b 0
−
−−
Lời giải: a) Cách 1: Khai triển theo gót cột 1
( ) ( ) ( ) 0
213
3 2 1 3 1 3
5 3 2 2. 5. 1. 2 3 4 5 1 4 1 3.
4 3 4 3 3 2
143
= − + = − − − + − = 4
Cách 2: Đưa về dạng quỷ trận tam giác
0
2 1 3 2 1 3 2 1 3
5 3 2 0 1 / 2 11 / 2 0 1 / 2 11 / 2 2. .40 1
1 4 3 0 7 / 2 3 / 2 2
4
0 0 40
= − = − = =
b) Đáp án: − − − +a 3 b 3 c 3 3abc
c) Đáp án: 2 4 3 2 2
3
11 ε 11 ε ε 2ε ε ε ε 1
= − + =−
d) Đáp án: − 112 e) Đáp án: 12a 3b 4ab 14+ + + Bài 2. Tìm x để:
a) 2
1 2 4
1 x x 0 1 3 9
−
= b)
3 x 2 2 2 3 x 2 0 2 2 3 x
−
−=
−
Lời giải:
a) 22 ( ) ( 2 ) 2
1 2 4 1 2 4
1 x x 0 x 2 x 4 5. x 2 5 x 4 0 x x 6 0 1 3 9 0 55 x
x 3
−−
= + − = + − − = − + + =−
=
=
b) Đáp án: x 32 9x 1 7 x 7 x 5x 1
0
−
=
=
+ − + =
Bài 3. Tìm λ sao cho tới det A( −= λE 0 ) , nhập tê liệt E là quỷ trận đơn vị chức năng cấp cho 3.
a)
2 1 1
A 1 0 3
0 1 1
−
=
b)
3 0 2
A 0 1 2
2 2 2
=
Lời giải:
a) ( )
2 1 1 1 0 0 2 λ 1 1 2 λ 1 1 A λE 1 0 3 λ 0 1 0 1 λ 3 det A λE 0 1 λ 3 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 λ 0 1 1 λ
− − − − −
− = − = − − = − =
−−
.
Đến phía trên giải tương tự động bài xích 2.
Đáp án: 32 λ 4
1
λ − λ 3λ 0
=
+ − =
−
=
b) Đáp án: 32
5
λ 6λ 3λ
λ λ λ
10 0
2
−
=
=
+ − − = =−
Bài 4. Tìm quỷ trận nghịch ngợm hòn đảo của những quỷ trận sau:
a)
34
A
57
=
b)
3 4 5
B 2 3 1
3 5 1
−
=−
−
c)
1 a 0 0 0 1 a 0 C 0 0 1 a 0 0 0 1
−
−
=
−
Lời giải: Để mò mẫm quỷ trận nghịch ngợm hòn đảo tất cả chúng ta sở hữu 2 cách: Dùng quỷ trận phụ thích hợp hoặc cách thức Gauss – Jordan. a) Cách 1: Dùng quỷ trận phụ hợp
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 3 4 11 12 21 22
75
c 1 .7 7 ; c 1 .5 5 ; c 1 .4 4; c 1 .3 3 C 43
−
= − = = − = − = − = − = − = =
−
A1T 11 .C 74
5
7
3
4
detA 1 5 3
=− = − = −
− −
Cách 2: Phương pháp Gauss – Jordan 3 4 1 0 3 4 1 0 3 4 1 0 3 0 21 12 1 0 7 4 A|E 5 7 0 1 0 1 / 3 5 / 3 1 0 1 5 3 0 1 5 3 0 1 5 3
−−
= → → → →
− − − −
BT− = + = XA 2X 2X XA BT X 2E A( + =) BT. Trong đó: E là quỷ trận đơn vị chức năng cấp cho 2. Đến phía trên, các
bạn giải tương tự động bài xích 5.
Đáp án:
01
X 5 14
24
=−
−
Bài 7. Cho
21
A 01 , B 1 0
2231
== −
−
−
. Tìm quỷ trận X vừa lòng B 3X XA−=T.
Đáp án:
11
X 1 2
49
−
=−
−
Bài 8. Cho A 4 1 , B 101 2 2 1 1 1
−
==
−−−
. Tìm quỷ trận X vừa lòng A XT T=+B XT
Đáp án:
12
X 2 3
34
−
=−
−
Bài 9. Cho
1 2 1 1 2
2 12 10
A 2 3 4 ; B 3 4 ; C
6 16 7
3 1 1 0 3
− −
= = =
−
. Tìm quỷ trận X vừa lòng AX B C+=t.
Đáp án:
21
X 3 2
11
=
−
Bài 10. Cho quỷ trận: A 1 1 , B 11 2 3 1 1
Xem thêm: đề thi học sinh giỏi toán lớp 2
−
==
−
a) Tính fA( ) với f x( )=−x 2 4x.
b) Tìm quỷ trận X vừa lòng (4A 23 −=A X) B.
Lời giải:
a) Đáp án: f x( ) x 22 4x f A( ) A 4 10
1
A
0
−
= −
= − −
=
b) Đáp án:
44
X
33
−
=
−
Bài 11. Cho quỷ trận A 1 3 , B 04 1 2 2 1
==
−
a) Cho nhiều thức Phường x( )= − −x 2 3x 2. Tính P(A).
b) Tìm quỷ trận X sao cho tới (A 3 − −3A 2 2A XA) =ABT
Lời giải:
a) Đáp án: PA( ) 10
01
−
=
−
b) ( ) ( )
3 2 T 3 2 1 T 1 2
A 3A 2A X A
2
9 13
A AB X A 3A 2 AB A
− − −
− − = = − − −
=
Bài 12. Cho
1 2 4 1 1 2
1 2 3
A 4 5 6 , B 2 3 3 ,C
2 1 0
8 8 9 4 4 4
= = =
a) Tính (A 2B− ) 2.
b) Tìm X vừa lòng ( )
AX A 2B−= 2 11CT
Lời giải:
a) Đáp án: ( )
2 0
A
1
2B
1 0 0
0 1 0
0
−=
b) Đáp án: Không sở hữu quỷ trận X vừa lòng AX A 2B( −=) 2 11CT.
Bài 13. Giải phương trình quỷ trận:
1 11 XT 2E 11 22 23
−
−=
với E là quỷ trận đơn vị chức năng cấp cho 2.
Đáp án: X 72 15
= −
−
Bài 14. Không khai triển lăm le thức tuy nhiên sử dụng những đặc thù của lăm le thức nhằm hội chứng minh:
a)
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3
a b x a b x c a b c a b x a b x c 2x a b c a b x a b x c a b c
+−
+ − = −
+−
b)
2 2 2
1 a bc 1 a a 1 b ac 1 b b 1 c ab 1 c c
=
c) ( )
32 32 32
1 a a 1 a a 1 b b a b c 1 b b 1 c c 1 c c
= + +
Lời giải:
a)
11111 (C 2 C 1 C 1 ) 11111111 (C 1 C 2 C 2 ) 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
a b x a b x c 2a a b x c a a b x c a b x c a b x a b x c 2a a b x c 2 a a b x c 2 a b x c a b x a b x c 2a a b x c a a b x c a b x c
+ − + → − − − + → −
+ − = − = − = −
+ − − − −
1 1 1 2 2 2 3 3 3
a b c 2x a b c a b c
=− , đpcm.
b) ( ) ( ) ( )
3 12 3 1 1 2 1 A c
X A E X A E A
10
1
−−− −
=
=
−
=
Bài 18. a) Chứng minh nếu như A là quỷ trận phản xứng cấp cho n lẻ thì det(A) = 0.
b) Cho A là quỷ trận vuông cấp cho 2021. Chứng minh det A A( −=t) 0.
Lời giải: a) A là quỷ trận phản xứng nên AAt=−
Có det A det A= t= − = −det( ) ( )A 1 det An = −det Adet A 0= , đpcm
b) Đặt B A A= − = − = − t Bt At A B B là một trong quỷ trận phản xứng cấp cho 2021 lẻ nên
det B 0= det A A( − =t) 0 , đpcm.
Bài 19. Cho A, B là 2 quỷ trận vuông nằm trong cấp cho thỏa mãn: A0 2021 = và AB A B=+. Chứng minh rằng
det B( )= 0.
Lời giải:
( ) ( ) ( )
AB= + − = − = −A B AB EB A A E B A A E 2021 B 2021 =A 2021 = 0 det A E− 2021 det B 2021 = 0
Có A0 2021 = nên A E det A E( − ) 2021 0 det B( ) 2021 = 0 det B( )= 0 , đpcm.
Bài trăng tròn. Cho A là quỷ trận vuông cấp cho n khả nghịch ngợm vừa lòng A 4A= − 1. Tính det A( 2021 −A).
Lời giải: Ta có:
( )
A=4A−− 1 = =A 2 AA 4A A 1 = 4E det A 2 = 4 det A= 2
( ) ( )
2021 2020 21000 1000 1000 A =AA =A A =A 4E = 4 A
( ) (( 0 ) ) ( ) ( )
2021 100 1000 n 1000 n d t Ae −=A =det 4 −1 A 4 −1 det A= 2 41 −
Bài 21. Cho quỷ trận thực A vuông cấp cho 2021. Chứng minh rằng
( ) ( )
tt 2021 det A A− =2021 det A det A−
Lời giải: Chứng minh tương tự động bài xích 18. Bài 22. Cho A, B là nhị quỷ trận vuông cấp cho n2 sao cho tới AB + A + B = 0. Chứng minh rằng nếu như A khả nghịch ngợm thì B khả nghịch ngợm. Lời giải:
( ) ( ) ( ) ( )
AB A B 0+ + = A B E+ = − B det A B E+ = − = −det B 1 det Bn (*)
A khả nghịch ngợm nên det A 0
Giả sử: det B 0= thay cho nhập (*) tao sở hữu det A B E( + = ) 0 det B E( + =) 0 (Mâu thuẫn vì thế detB = 0). Vậy
det B 0 , đpcm.
Bài 23. Cho những quỷ trận thực A, B vuông cấp cho n, ( )n2 vừa lòng AB = BA. Chứng minh rằng:
det A( 22 +B ) 0.
Lời giải: Chú ý với AB BA= :
A 2 + = − = + − − =B 2 A 2 i B 22 A 2 iAB iBA i B 22 A A iB( + −) (iB A iB+ = −) (A iB A iB)( + )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 det A + =B det A −i B =det A iB .det A iB− + =det A iB det A iB+ + =det A iB+ 0
Bài 24. Cho A là quỷ trận vuông cấp cho n vừa lòng A 2 =3A. Chứng minh rằng quỷ trận A + 2E là ma trận khả nghịch ngợm, nhập tê liệt E là quỷ trận đơn vị chức năng cấp cho n. Lời giải:
A 2 3A A 2 3A O A 2 3A 2E 2E (A 2E A E)( ) 2E (A 2E) 1 (A E) E
2
= − = − + = − − = − − =
Điều tê liệt đã cho thấy 1 (AE)
2
− là quỷ trận nghịch ngợm hòn đảo của A 2E−.
Bài 25.* Cho a là một số trong những thực và n là một số trong những nguyên vẹn dương. Xét quỷ trận vuông cấp cho n sau
n
a 0 0 n 1 0 a 0 n 2 A 0 0 a 1 n 1 n 2 1 a
Xem thêm: lim x 2 x 3
−
−
=
−−
Tính lăm le thức của An trong số ngôi trường hợp
a) n = 4 b) n = 2021 Lời giải:
Đáp án: det An an 1 an 2( )(n 1 2n 1)
6
= − − − −. Thay n = 4 và n = 2021 nhận được thành quả.
Bình luận