bài toán quỹ tích lớp 11

Bài ghi chép Cách dò xét quỹ tích phú điểm của hai tuyến phố trực tiếp với cách thức giải cụ thể canh ty học viên ôn tập luyện, biết phương pháp thực hiện bài bác tập luyện Cách dò xét quỹ tích phú điểm của hai tuyến phố trực tiếp.

Bạn đang xem: bài toán quỹ tích lớp 11

Cách dò xét quỹ tích phú điểm của hai tuyến phố trực tiếp đặc biệt hay

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

Để dò xét tập kết phú điểm I của hai tuyến phố trực tiếp thay cho thay đổi a; b tao lựa chọn nhị mặt mày phẳng lì cố định và thắt chặt

(α) và (β) tách nhau theo thứ tự chứa chấp a và b

Khi cơ I = a ∩ b ⇒

⇒ I ∈ d = (α) ∩ (β)

Vậy điểm I nằm trong phú tuyến của nhị mặt mày phẳng lì (α) và (β)

Để chứng tỏ đường thẳng liền mạch d trải qua một điểm cố định và thắt chặt tao tiến hành bám theo công việc sau:

- Chọn một điểm cố định và thắt chặt J nằm trong nhị mặt mày phẳng lì (P) và (Q)

- Chứng minh d là phú tuyến của nhị mặt mày phẳng lì (P) và (Q) , Khi cơ d trải qua điểm cố định và thắt chặt J

B. Ví dụ minh họa

Bài tập luyện 1: Cho hình chóp S.ABCD sở hữu lòng ABCD là hình thang với lòng rộng lớn là AB. Một mặt mày phẳng lì (P) xoay quanh AB tách những cạnh SC; SD bên trên những điểm ứng E; F

a) Tìm tập kết phú điểm I của AF và BE

b) Tìm tập kết phú điểm J của AE và BF

Lời giải

a) Phần thuận:

Giới hạn:

Khi E chạy cho tới C thì F chạy cho tới D và I chạy cho tới H

Khi E chạy cho tới S thì F chạy cho tới S và I chạy cho tới S

Phần đảo:

Lấy điểm I bất kì nằm trong đoạn SH , vô (SAH) gọi F = SD ∩ AI, vô (SBH) gọi E là phú điểm của SH và BI. Khi cơ (ABEF) là mặt mày phẳng lì xoay quanh AB tách những cạnh SC; SD bên trên E; F và I là phú điểm của AF và BE.

Vậy tập kết điểm I là đoạn SH

b) Ta sở hữu

Nhưng SO = (SAC) ∩ (SBD) nên J ∈ SO

Khi E chạy cho tới chạy cho tới C thì F chạy cho tới D và J chạy cho tới O

Khi E chạy cho tới S thì F chạy cho tới S và J chạy cho tới S

Lập luận tương tự động bên trên tao sở hữu tập kết điểm J là đoạn SO

Bài tập luyện 2: Cho tứ diện ABCD. Hai điểm M; N theo thứ tự phía trên nhị cạnh AB và AC sao mang lại AM/AB ≠ AN/AC. Một mặt mày phẳng lì (P) thay cho thay đổi luôn luôn chứa chấp MN, tách những cạnh CD và BD theo thứ tự bên trên E và F .

a) Chứng minh EF luôn luôn trải qua một điểm cố định

b) Tìm tập kết phú điểm I của ME và NF

c) Tìm tập kết phú điểm J của MF và NE

Quảng cáo

Lời giải

a) Trong mp (ABC) gọi K = MN ∩ BC thì K cố định và thắt chặt và

Lại sở hữu EF = (P) ∩ (BCD) ⇒ K ∈ EF

Vậy EF luôn luôn trải qua điểm K cố định

b) Phần thuận:

Trong (P) gọi I = ME ∩ NF ⇒

⇒ I ∈ (MCD) ∩ (NBD)

Gọi O = CM ∩ BN ⇒ OD = (MCD) ∩ (NBD) ⇒ I ∈ OD

Giới hạn:

Khi E chạy cho tới C thì F chạy cho tới B và I chạy cho tới O.

Khi E chạy cho tới D thì F chạy cho tới D và I chạy cho tới D.

Phần đảo:

Gọi I là vấn đề bất kì bên trên đoạn OD, vô (MCD) gọi E = XiaoMi MI ∩ CD, vô (NBD) gọi F = NI ∩ BD suy đi ra (MNEF) là mặt mày phẳng lì xoay quanh MN tách những cạnh DB; DC bên trên những điểm E; F và I = ME ∩ NF

Vậy tập kết điểm I là đoạn O D.

c)

Khi E chạy cho tới C thì F chạy cho tới B và J chạy cho tới A

Khi E chạy cho tới D thì F chạy cho tới D và J chạy cho tới D

Từ cơ tao sở hữu tập kết điểm J là đường thẳng liền mạch AD trừ những điểm vô của đoạn AD

C. Bài tập luyện tự động luận

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD sở hữu lòng ABCD là hình thang, lòng rộng lớn AB. Gọi I,J là trung điểm SA; SB . Lấy điểm M tùy ý bên trên SD. Tìm phú điểm của:

a) IM và (SBC)     b) JM và (SAC)      c) SC và (IJM)

Lời giải:

a) Chọn mặt mày phẳng lì phụ (SAD) chứa chấp IM. Tìm phú tuyến của (SAD) và (SBC)

Có : S ∈ (SAD) ∩ (SBC)   (1)

   + Trong mp(ABCD) gọi H là phú điểm của AD và BC

⇒ H ∈ (SAD) ∩ (SBC)   (2)

   + Từ (1) và (2) suy ra:

SH = (SAD) ∩ (SBC)

   + Trong mp(SAD) gọi E là phú điểm của IM và SH

b) Chọn mặt mày phẳng lì phụ (SBD) chứa chấp JM. Tìm phú tuyến của (SBD) và (SAC)

Có S ∈ (SBD) ∩ (SAC)   (3)

   + Trong mp(ABCD) gọi O là phú điểm của AC và BD

Từ (3) và (4) suy đi ra : SO = (SBD) ∩ (SAC)

Trong mp(SBD) gọi F là phú điểm của JM và SO

c) Ta có

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD sở hữu lòng là hình thang, lòng rộng lớn AB. Gọi I, J, K là tía điểm bên trên SA; AB; BC

a) Tìm phú điểm của IK với (SBD)

b) Tìm những phú điểm của mp (IJK) với SD và SC

Quảng cáo

Lời giải:

a) Chọn mặt mày phẳng lì phụ (SAK) chứa chấp IK. Tìm phú tuyến của (SAK) và (SBD)

   + S ∈ (SAK) ∩ (SBD)   (1)

   + Trong mp(ABCD) gọi E là phú điểm của AK

   + Từ (1) và (2) suy đi ra SE = (SAK) ∩ (SBD)

Trong mp(SAK) gọi F là phú điểm của IK và SE

b) Chọn mặt mày phẳng lì phụ (SBD) chứa chấp SD. Tìm phú tuyến của (SBD) và (IJK)

Ta có:

   + Trong mp(ABCD) gọi M là phú điểm của JK và BD.

Từ (3) và (4) suy đi ra MF = (IJK) ∩ (SBD)

   + Trong mp(SBD) gọi N là phú điểm của SD và MF.

c) Chọn mp(SAC) chứa chấp SC. Tìm phú tuyến của (SAC) và (IJK)

   + Ta có:

   + Trong mp(ABCD) gọi Phường là phú điểm của JK và AC.

   + Từ (5) và (6) suy đi ra : IP = (SAC) ∩ (IJK)

   + Trong mp(SAC) gọi Q là phú điểm của SC và IP

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD sở hữu lòng ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SB; N là trọng tâm tam giác SCD. Xác quyết định phú điểm của:

a) MN và (ABCD)

b) MN và (SAC)

c) SC và (AMN)

d) SA và (CMN)

Lời giải:

a) Gọi E trung điểm của CD

   + Trong mp(SBE) gọi F là phú điểm của MN và BE

b) Chọn mp(SBE) chứa chấp MN. Tìm phú tuyến (SBE) và (SAC)

   + Ta có: S ∈ (SBE) ∩ (SAC)   (1)

   + Trong mp(ABCD) gọi G là phú điểm của AC và BE

   + Từ (1) và (2) suy ra: SG = (SBE) ∩ (SAC)

   + Trong mp(SBE) gọi H là phú điểm của MN và SG

c) Chọn mp(SAC) chứa chấp SC. Tìm phú tuyến (SAC) và (AMN)

   + Ta có: A ∈ (AMN) ∩ (SAC)   (3)

   + Ta có

Từ (3) và (4) suy đi ra : AH = (AMN) ∩ (SAC)

   + Trong mp(SAC) gọi K là phú điểm của SC và AH

d) Chọn mp(SAC) chứa chấp SA. Tìm phú tuyến (SAC) và (CMN)

   + Ta có: C = (SAC) ∩ (CMN)   (5)

   +

   + Từ (5) và (6) suy đi ra : CH = (SAC) ∩ (CMN)

Trong mp(SAC) gọi I là phú điểm của SA và CH

⇒ I = SA ∩ (CMN)

Quảng cáo

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD. Lấy một điểm M nằm trong miền vô tam giác SBC. Lấy một điểm N nằm trong miền vô tam giác SCD.

a) Tìm phú điểm của MN với (SAC)

b) Tìm phú điểm của SC với (AMN)

c) Tìm tiết diện của hình chóp S.ABCD với (AMN)

Lời giải:

a) Trong mp(SBC) gọi E = SM ∩ BC

Trong mp(SCD) gọi F = SN ∩ CD

   + Chọn mp(SEF) chứa chấp MN

Có S ∈ (SEF) ∩ (SAC)   (1)

Trong mp(ABCD) gọi

⇒ O ∈ (SEF) ∩ (SAC)     (2)

Từ (1) và (2) suy đi ra (SEF) ∩ (SAC) = SO

Trong mp(SEF) gọi

b) Có A ∈ (AMN) ∩ (SAC)   (3)

Có

Từ (3) và (4) suy đi ra (AMN) ∩ (SAC) = AH

Trong mp(SAC) gọi Q = SC ∩ AH

c) Có MQ = (AMN) ∩ (SBC). Gọi Phường = SB ∩ MQ ⇒ (AMN) ∩ (SAB) = AP

Có NQ = (AMN) ∩ (SCD). Gọi R = SD ∩ NQ ⇒ (AMN) ∩ (SAD) = AR

Từ cơ suy đi ra tiết diện cần thiết dò xét là tứ giác APQR

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD sở hữu lòng ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N,Phường theo thứ tự là trung điểm của SB; SD và OC.

a) Tìm phú tuyến của ( MNP) và (ABCD)

b) Tìm phú điểm của SA và (MNP)

c) Xác quyết định tiết diện của hình chóp với (MNP). Tính tỉ số tuy nhiên (MNP) phân chia những cạnh SA, BC và CD

Lời giải:

a) Ta sở hữu SO = (SAC) ∩ (SBD)

   + Trong mp(SBD) gọi H là phú điểm của MN và SO

Vì MN là lối tầm của tam giác SBD

⇒ H là trung điểm của SO

   + Có Phường ∈ (MNP) ∩ (SAC)   (1)

   + Có

⇒ H ∈ (MNP) ∩ (SAC)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (MNP) ∩ (SAC) = PH

   + Trong mp(SAC) gọi

Xem thêm: truong chuyen huynh man dat kiengiang

   + Do H trung điểm của SO và Phường trung điểm của OC

Suy đi ra PH là lối tầm của tam giác OCS nên PH // SC

   + Trong tam giác SAC sở hữu

   + Trong mp(SAB) gọi I = EM ∩ AB ⇒ I ∈ (MNP) ∩ (ABCD)   (3)

Lại sở hữu Phường ∈ (MNP) ∩ (ABCD)

Do cơ (MNP) ∩ (ABCD) = IP

   + Trong mp(ABCD) gọi F và G theo thứ tự là phú điểm của IP với BC và CD.

Từ cơ suy đi ra tiết diện cần thiết dò xét là ngũ giác FMENG.

Trong mp(SAB) dựng BK // SA, K ∈ SI ⇒ ΔMES = ΔMKB (g.c.g)

Kết luận tỉ số tuy nhiên mp(MNP) phân chia những cạnh SA, BC và CD theo thứ tự là:

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD sở hữu lòng ABCD là hình bình hành. Gọi K là trọng tâm của tam giác SAC và I, J theo thứ tự là trung điểm của CD và SD

a) Tìm phú điểm H của đường thẳng liền mạch IK với mặt mày phẳng lì (SAB)

b) Xác quyết định tiết diện tạo nên bởi vì mặt mày phẳng lì (IJK) với hình chóp

Lời giải:

   + Trong mp(ABCD) gọi O = AC ∩ BD

⇒ (SAC) ∩ (SBD) = SO

   + Vì K là trọng tâm của tam giác SAC nên:

SK = (2/3)SO

+ Trong tam giác SBD sở hữu SO là lối trung tuyến và SK = (2/3)SO

Suy đi ra K là trọng tâm của tam giác SBD.

Do cơ B ∈ KJ

a)

   + Ta sở hữu S ∈ (SAB) ∩ (SIO)  (1)

Trong mp(ABCD) gọi E = AB ∩ IO

   + Do

Từ (1) và (2) suy đi ra (SAB) ∩ (SIO) = SE

   + Trong mp(SIO) gọi H = IK ∩ SE, có

b) Ta sở hữu B ∈ KJ ⇒ B ∈ (IJK) ∩ (ABCD)

⇒ Giao tuyến (IJK) ∩ (ABCD) = BI

   + Trong mp(SAB) gọi F = BH ∩ SA ⇒ (SAB) ∩ (IJK) = BF

Ngoài đi ra (SAD) ∩ (IJK) = FJ và (SCD) ∩ (IJK) = JI

Do cơ tiết diện cần thiết dò xét là tứ giác BFJI

Câu 7: Hình chóp S.ABCD sở hữu lòng ABCD ko là hình thang, điểm Phường trực thuộc tam giác SAB và điểm M nằm trong cạnh SD sao mang lại MD = 2MS

a) Tìm phú tuyến của nhị mặt mày phẳng lì (SAB) và (PCD)

b) Tìm phú điểm của SC với mặt mày phẳng lì (ABM)

c) Gọi N là trung điểm của AD, dò xét tiết diện tạo nên bởi vì mặt mày phẳng lì (MNP) và hình chóp S.ABCD

Lời giải:

a) Ta sở hữu Phường ∈ (SAB) ∩ (PCD)    (1)

Trong mp(ABCD) gọi H = AB ∩ CD, có

Từ (1) và (2) suy đi ra (SAB) ∩ (PCD) = HP

b)

   + Cách 1: Chọn mp(SCD) chứa chấp SC.

   + Cách 2: Tìm phú tuyến của (MAB) và (SCD):

Có M, H là nhị điểm công cộng của nhị mặt mày phẳng lì (MAB) và (SCD)

⇒ HM = (MAB) ∩ (SCD)

Giao tuyến HM tách SC bên trên điểm I

Vậy I là phú điểm của SC với mp(ABM)

c) Trong mp(SAD) gọi G = SA ∩ MN, sở hữu

Lại sở hữu Phường ∈ (SAB) ∩ (MNP)   (4)

Từ (3) và (4) ⇒ (SAB) ∩ (MNP) = GP.

Gọi K, L theo thứ tự là phú điểm của GP với SB và AB.

Suy đi ra tiết diện cần thiết dò xét là tứ giác MNLK.

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của cạnh SA, SD, Phường là vấn đề nằm trong cạnh SB sao cho: SP = 3PB

a) Tìm phú điểm Q của SC và (MNP)

b) Tìm phú tuyến của (MNP) và (ABCD)

Lời giải:

a) Gọi O là phú điểm của AC và BD

Ta sở hữu SO là phú tuyến của (SAC) và (SBD)

   + Trong mp(SBD) gọi E là phú điểm của PN và SO

Từ (1) và (2) suy đi ra : ME = (MNP) ∩ (SAC)

   + Trong mp(SAC) gọi Q là phú điểm của ME và SC

   + Trong mp(SBD) gọi K là phú diểm của PN và BD

   + Trong mp(SAB) gọi H là phú điểm của PM và AB.

Từ (3) và (4) suy ra: HK = (MNP) ∩ (ABCD)

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD sở hữu lòng là hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của SD.

a) Tìm phú điểm I của BM với mp(SAC). Chứng minh: BI = 2IM

b) Tìm phú điểm E của SA với mp(BCM). Chứng minh E là trung điểm của SA

Lời giải:

a) Có: S ∈ (SAC) ∩ (SBD)   (1)

   + Trong mp(ABCD) gọi O là phú điểm của AC và BD

⇒ O ∈ (SAC) ∩ (SBD)  (2)

   + Từ (1) và (2) suy đi ra : SO = (SAC) ∩ (SBD)

   + Trong mp(SBD) gọi I là phú điểm của BM và SO

Trong tam giác SBD sở hữu I là phú điểm của hai tuyến phố trung tuyến SO và BM suy đi ra I là trọng tâm của tam giac SBD.

⇒ BI = 2IM

b) C ∈ (BCM) ∩ (SAC)   (3)

Từ (3) và (4) suy ra: CI = (BCM) ∩ (SAC)

   + Trong mp(SAC) gọi E là phú điểm của SA và CI

⇒ E = SA ∩ (BCI)

   + Vì I trọng tâm của tam giác SBD nên SI = (2/3)SO

   + Trong tam giác SAC sở hữu SO là lối trung tuyến và SI = (2/3)SO nên I cũng chính là trọng tâm của tam giác SAC.

Do cơ CI là lối trung tuyến của tam giác SAC nên E trung điểm của SA

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD sở hữu lòng là hình thang, lòng rộng lớn AB và AB = 2CD. Gọi I, J, K theo thứ tự là tía điểm bên trên những cạnh SA; AB; BC

a) Tìm phú điểm của IK và mp (SBD)

b) Tìm phú điểm F của SD và mp (IJK)

Lời giải:

a) Chọn mp(SAK) chứa chấp IK

   + S ∈ (SBD) ∩ (SAK)   (1)

   + Trong mp(ABCD) gọi O là phú điểm của AK và BD

⇒ O ∈ (SAK) ∩ (SBD)  (2)

   + Từ (1) và (2) suy ra:

SO = (SAK) ∩ (SBD)

   + Trong mp(SAK) gọi E là phú điểm của IK và SO

b) Trong mp(ABCD) gọi Phường, Q theo thứ tự là phú điểm của JK với AD và CD.

Có:

⇒ ΔKBJ = ΔKCQ (g.c.g)

⇒ JB = CQ

   + Lại sở hữu : JB = DC (Vì JB = DC = (1/2)AB ). Do cơ C là trung điểm của DQ, và BJCQ là hình bình hành.

   + Trong tam giác DPQ sở hữu CJ là lối tầm. Do cơ A là trung điểm của DP.

Có I ∈ (SAD) ∩ (IJK)   (3)

Có

Từ (3) và (4) suy đi ra : IP = (SAD) ∩ (IJK)

   + Trong mp(SAD) gọi phú điềm của SD và IP là F

Câu 11: Cho tứ diện S.ABCD. Gọi I và J theo thứ tự là trung điểm của AC và BC. Trên cạnh BD lấy điểm K sao mang lại BK = 2KD

a) Tìm phú điểm E của CD với mp(IJK). Chứng minh: DE = DC

b) Tìm phú điểm F của AD với mp(IJK). Chứng minh: FA = 2 FD

c) Chứng minh: FK // IJ

d) Gọi M và N là nhị điểm bất kì theo thứ tự phía trên nhị cạnh AB và CD. Tìm phú điểm của MN với mp(IJK)

Lời giải:

a) Trong mp(BCD) gọi E là phú điểm của CD và JK

   + Trong tam giác CEJ có: DH = (1/2).CJ nên DH là lối tầm của tam giác này. Suy đi ra D trung điểm của CE

Vậy DE = DC

b)

   + Ta có:

   + E là phú điểm của CD và JK:

   + Từ (1) và (2) suy đi ra : EI = (ACD) ∩ (IJK)

   + Trong mp(ACD) gọi F là phú điềm của AD và (IJK)

   + Có F là phú điểm của hai tuyến phố trung tuyến AD và EI của tam giác ACE, suy đi ra F là trọng tâm của tam giác này.

⇒ FA = 2FD

c) Tương tự động câu b) sở hữu K là trọng tâm của tam giác BCE

Theo đặc điểm trọng tâm có: EF/EI = EK/EJ = 2/3 ⇒ FK //IJ

d) Chọn mp(ABN) chứa chấp MN

   + Trong mp(BCD) gọi Phường là phú điểm của BN và JK

Câu 12: Cho tứ diện SABC sở hữu D, E theo thứ tự là trung điểm của AC; BC và G là trọng tâm của tam giác ABC. Mặt phẳng lì (α) trải qua AC tách SE; SB theo thứ tự bên trên M; N. Một mặt mày phẳng lì (β) trải qua BC tách SD; SA ứng bên trên Phường và Q.

a) Gọi I = AM ∩ Doanh Nghiệp, J = BP ∩ EQ. Chứng minh: S; I; J; G trực tiếp hàng

b) Giả sử K = AN ∩ DM, L = BQ ∩ EP. Chứng minh S; K; L trực tiếp hàng

Lời giải:

a) Ta có:

Từ (1), (2), (3) và (4) tao có: S; I; J; G là vấn đề công cộng của nhị mặt mày phẳng lì (SBD) và (SAE) nên bọn chúng trực tiếp mặt hàng.

b)

Ta có:

S ∈ (SAB) ∩ (SDE)

Vậy S; K; L là vấn đề công cộng của nhị mặt mày phẳng lì (SAB) và (SDE) nên bọn chúng trực tiếp mặt hàng.

Xem tăng những dạng bài bác tập luyện Toán lớp 11 sở hữu vô đề ganh đua trung học phổ thông Quốc gia khác:

• Câu căn vặn trắc nghiệm lý thuyết về đường thẳng liền mạch và mặt mày phẳng
• Cách dò xét phú tuyến của nhị mặt mày phẳng
• Cách dò xét phú điểm của đường thẳng liền mạch và mặt mày phẳng
• Cách dò xét tiết diện của hình chóp
• Cách chứng tỏ 3 điểm trực tiếp mặt hàng, 3 đường thẳng liền mạch đồng quy
• Cách dò xét quỹ tích phú điểm của hai tuyến phố trực tiếp đặc biệt hay

Săn SALE shopee mon 9:

• Đồ người sử dụng tiếp thu kiến thức giá cả tương đối rẻ
• Sữa chăm sóc thể Vaseline chỉ rộng lớn 40k/chai
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3

duong-thang-va-mat-phang-trong-khong-gian-quan-he-song-song.jsp