Hàm lượng giác

Lượng giác

Khái quát Lịch sử Ứng dụng Hàm Hàm ngược
Tham khảo
Đẳng thức Giá trị quánh biệt Bảng Đường tròn trĩnh đơn vị
Định lý
Sin Cos Tang Cotang Pythagoras
Vi tích phân
Phép thế lượng giác Tích phân Hàm nghịch tặc đảo Đạo hàm
x t s

Trong toán học tập rằng công cộng và lượng giác học tập rằng riêng biệt, những hàm lượng giác là những hàm toán học tập của góc, được sử dụng Khi phân tích tam giác và những hiện tượng kỳ lạ với đặc thù tuần trả. Các nồng độ giác của một góc thông thường được khái niệm vị tỷ trọng chiều lâu năm nhị cạnh của tam giác vuông chứa chấp góc ê, hoặc tỷ trọng chiều lâu năm Một trong những đoạn trực tiếp nối những điểm quan trọng bên trên vòng tròn trĩnh đơn vị chức năng. Những khái niệm văn minh rộng lớn thông thường coi các hàm lượng giác là chuỗi số vô hạn hoặc là nghiệm của một vài phương trình vi phân, điều này được cho phép nồng độ giác hoàn toàn có thể với đối số là một vài thực hoặc một vài phức bất kì.

Các nồng độ giác ko nên là những hàm số đại số và hoàn toàn có thể xếp nhập loại hàm số siêu việt.

Bạn đang xem: các hàm lượng giác

Các nồng độ giác cơ bản[sửa | sửa mã nguồn]

Ngày ni, tất cả chúng ta thông thường thao tác với sáu nồng độ giác cơ phiên bản, được liệt kê nhập bảng bên dưới, tất nhiên tương tác toán học tập Một trong những hàm.

Hàm	Viết tắt	Liên hệ
Sin	sin
Cos	cos
Tan	tan
Cot	cot
Sec	sec
Csc	csc

Trong lịch sử dân tộc, một vài nồng độ giác không giống đã và đang được nói đến, tuy nhiên ni không nhiều sử dụng là:

Xem thêm thắt bài bác đẳng thức lượng giác nhằm hiểu biết thêm thật nhiều tương tác không giống nữa thân ái các hàm lượng giác.

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Những phân tích một cơ hội khối hệ thống và việc lập bảng tính các hàm lượng giác được nghĩ rằng tiến hành lần thứ nhất vị Hipparchus ở Nicaea (180-125 TCN), người tiếp tục lập bảng tính chừng lâu năm của những cung tròn trĩnh (có độ quý hiếm vị góc, A, nhân với nửa đường kính, r) và chiều lâu năm của chạc cung ứng (2r sin(A/2)). Sau ê, Ptolemy (thế kỷ II) kế tiếp cách tân và phát triển dự án công trình bên trên nhập quyển Almagest, mò mẫm ra sức thức nằm trong và trừ cho tới sin(A + B) và cos(A + B). Ptolemy đã và đang suy ra mắt được công thức nửa-góc sin(A/2)² = (1 − cos(A))/2, được cho phép ông lập bảng tính với bất kể chừng đúng chuẩn quan trọng nào là. Những bảng tính của Hipparchus và Ptolemy ni đã trở nên thất truyền.

Các cách tân và phát triển về lượng giác tiếp theo sau ra mắt ở nén Độ, nhập dự án công trình Siddhantas (khoảng thế kỷ IV–V), khái niệm hàm sin theo dõi nửa góc và nửa chạc cung. Quyển Siddhantas cũng chứa chấp bảng tính hàm sin cổ nhất còn tồn bên trên đến giờ (cùng với những độ quý hiếm 1 − cos), cho những góc có mức giá trị kể từ 0 cho tới 90 chừng xa nhau 3.75 chừng.

Công trình nén giáo này sau này được dịch và cách tân và phát triển thêm thắt vị người Ả Rập. Đến thế kỷ X, người Ả Rập tiếp tục sử dụng cả sáu nồng độ giác cơ phiên bản (trong kiệt tác Abu'l-Wefa), với những bảng tính hàm sin cho những góc xa nhau 0.25 chừng, với chừng đúng chuẩn cho tới 8 chữ số thập phân sau vết phẩy, và bảng tính hàm tan.

Từ sin tuy nhiên thời buổi này tao sử dụng xuất phát điểm từ chữ La tinh ma sinus ("vịnh" hoặc "gập"), dịch sai sót kể từ chữ Phạn jiva (hay jya). Jiva (vốn được gọi khá đầy đủ là ardha-jiva, "nửa-dây cung", nhập quyển Aryabhatiya thế kỷ VI) được trả tự động thanh lịch giờ đồng hồ Ả Rập là jiba (جب), tuy nhiên bị sai sót trở nên kể từ không giống, jaib (جب) ("vịnh"), vị những dịch fake ở châu Âu như Robert ở Chester và Gherardo ở Cremona nhập quyển Toledo (thế kỷ XII). Sự lầm lẫn này hoàn toàn có thể là vì jiba (جب) và jaib (جب) được ghi chép giống như nhau nhập giờ đồng hồ Ả Rập (đa số vẹn toàn âm bị lược vứt nhập bảng vần âm Ả Rập).

Các dự án công trình thứ nhất này về các hàm lượng giác đều được cách tân và phát triển nhập phân tích thiên văn. Có lẽ cuốn sách thứ nhất chỉ triệu tập phân tích về lượng giác là De triangulis omnimodus (1464) và Tabulae directionum của Regiomontanus (1436–1476). Quyển Tabulae directionum nói tới hàm tang.

Quyển Opus palatinum de triangulis của Rheticus, một học tập trò của Copernicus, là cuốn sách thứ nhất khái niệm các hàm lượng giác vị tam giác vuông chứ không sử dụng vòng tròn trĩnh đơn vị chức năng, tất nhiên bảng tính 6 nồng độ giác cơ phiên bản. Công trình này được đầy đủ vị học tập trò của Rheticus là Valentin Otho năm 1596.

Quyển Introductio in analysin infinitorum (1748) của Euler triệu tập mô tả cơ hội tiếp cận giải tích cho tới các hàm lượng giác, khái niệm bọn chúng theo dõi những chuỗi vô vàn và trình làng "Công thức Euler" e^ix = cos(x) + i sin(x). Euler tiếp tục sử dụng những ký hiệu ghi chép tắt sin., cos., tang., cot., sec., và cosec. giống như thời buổi này.

Định nghĩa vị tam giác vuông[sửa | sửa mã nguồn]

Có thể khái niệm các hàm lượng giác của góc A, bằng sự việc hình thành một tam giác vuông chứa chấp góc A. Trong tam giác vuông này, những cạnh được mệnh danh như sau:

Cạnh huyền là cạnh đối lập với góc vuông, là cạnh lâu năm nhất của tam giác vuông, h bên trên hình vẽ.
Cạnh đối là cạnh đối lập với góc A, a bên trên hình vẽ.
Cạnh kề là cạnh nối thân ái góc A và góc vuông, b bên trên hình vẽ.

Dùng hình học tập Ơclit, tổng những góc nhập tam giác là pi radian (hay 180⁰). Khi đó:

Hàm	Định nghĩa	Biểu thức
Sin	Cạnh đối phân chia cho tới cạnh huyền
Cos	Cạnh kề phân chia cho tới cạnh huyền
Tan	Cạnh đối phân chia cho tới cạnh kề
Cot	Cạnh kề phân chia cho tới cạnh đối
Sec	Cạnh huyền phân chia cho tới cạnh kề
Csc	Cạnh huyền phân chia cho tới cạnh đối

Định nghĩa vị vòng tròn trĩnh đơn vị[sửa | sửa mã nguồn]

Các nồng độ giác cũng hoàn toàn có thể được khái niệm vị vòng tròn trĩnh đơn vị chức năng, một vòng tròn trĩnh với nửa đường kính vị 1 và tâm trùng với tâm của hệ tọa chừng. Định nghĩa sử dụng vòng tròn trĩnh đơn vị chức năng thực rời khỏi cũng nhờ vào tam giác vuông, tuy nhiên bọn chúng hoàn toàn có thể khái niệm cho những từng góc là số thực, chứ không chỉ là số lượng giới hạn thân ái 0 và Pi/2 radian. Các góc to hơn 2π hoặc nhỏ rộng lớn −2π tảo vòng bên trên lối tròn trĩnh.

Dùng đại số[sửa | sửa mã nguồn]

Vòng tròn trĩnh đơn vị chức năng là từng điểm (x, y) bên trên mặt mũi phẳng lì của hình học tập phẳng lì thỏa mãn:

x² + y² = 1

Gọi góc θ là góc thân ái đường thẳng liền mạch nối tâm hệ tọa chừng và điểm (x,y) bên trên vòng tròn trĩnh và chiều dương của trục x của hệ tọa chừng x-y, các hàm lượng giác hoàn toàn có thể được khái niệm là:

Hàm	Định nghĩa
sin(θ)	y
cos(θ)	x
tan(θ)	y/x
cot(θ)	x/y
sec(θ)	1/x
csc(θ)	1/y

Khi những góc tảo bên trên vòng tròn trĩnh, hàm sin, cos, sec và csc trở thành hàm tuần trả với chu kỳ luân hồi 2π radian hoặc 360 độ:

Ở phía trên θ là góc, một vài thực bất kỳ; k là một vài vẹn toàn ngẫu nhiên.

Tan và Cot tuần trả với chu kỳ luân hồi π radian hoặc 180 chừng.

Dùng hình học[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi nồng độ giác đều hoàn toàn có thể được dựng lên vị cách thức hình học tập bên trên một vòng tròn trĩnh đơn vị chức năng với tâm ở O.

Hình vẽ mặt mũi đã cho chúng ta biết khái niệm vị hình học tập về các hàm lượng giác cho tới góc ngẫu nhiên bên trên vòng tròn trĩnh đơn vị chức năng tâm O. Với θ là nửa cung AB:

Hàm	Định nghĩa	Chú thích
sin(θ)	AC	định nghĩa lần thứ nhất trình làng nhập lịch sử dân tộc vị người nén Độ
cos(θ)	OC
tan(θ)	AE	đường tiếp tuyến với lối tròn trĩnh bên trên A, chân thành và ý nghĩa này tiếp tục tạo nên cho tới cái thương hiệu "tan" của hàm, xuất phát điểm từ giờ đồng hồ La tinh ma là "tiếp tuyến"
cot(θ)	AF
sec(θ)	OE	đường tách vòng tròn trĩnh, chân thành và ý nghĩa này tiếp tục tạo nên cho tới cái thương hiệu "secant" của hàm, xuất phát điểm từ giờ đồng hồ La tinh ma là "đường tách vòng tròn"
csc(θ)	OF
versin(θ)	CD	versin(θ) = 1 − cos(θ)
exsec(θ)	DE	exsec(θ) = sec(θ) − 1

Theo hình vẽ, hay thấy sec và tang tiếp tục phân kỳ Khi θ tiến bộ cho tới π/2 (90 độ), csc và cot phân kỳ Khi θ tiến bộ cho tới 0. hầu hết cơ hội kiến thiết tương tự động hoàn toàn có thể được tiến hành bên trên vòng tròn trĩnh đơn vị chức năng, và những đặc thù của các hàm lượng giác hoàn toàn có thể được minh chứng vị hình học tập.

Định nghĩa vị chuỗi[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm sin (xanh lam) được xấp xỉ vị chuỗi Taylor bậc 7 (màu hồng).

Dùng hình học tập và những đặc thù của số lượng giới hạn hàm số, hoàn toàn có thể minh chứng rằng đạo hàm của hàm sin là hàm cos và đạo hàm của hàm cos là trái ngược vết của hàm sin. cũng có thể sử dụng chuỗi Taylor nhằm phân tách hàm sin và cos rời khỏi chuỗi, cho tới từng góc x đo vị độ quý hiếm radian thực. Từ nhị hàm này hoàn toàn có thể suy rời khỏi chuỗi của những nồng độ dạng sót lại.

Các đẳng thức tiếp sau đây cho biết thêm chuỗi Taylor của các hàm lượng giác. Chúng hoàn toàn có thể dùng để khái niệm cho tới nồng độ giác. Chúng được sử dụng trong vô số phần mềm, như chuỗi Fourier), vì như thế lý thuyết của chuỗi vô hạn hoàn toàn có thể được kiến thiết kể từ nền tảng khối hệ thống số thực, song lập với hình học tập. Các đặc thù như khả vi hoặc liên tiếp hoàn toàn có thể được minh chứng chỉ với khái niệm vị chuỗi.

Trong bảng bên dưới, quy ước:

E_n là số Euler loại n

U_n là số lên/xuống loại n

Hàm	Định nghĩa	Cụ thể
sin(x)
cos(x)
tan(x)
cot(x)
sec(x)
csc(x)

Trên ngôi trường số phức[sửa | sửa mã nguồn]

Từ khái niệm vị gì ê hoàn toàn có thể minh chứng rằng những hàm sin và cos là phần ảo và phần thực của hàm nón của số ảo:

Với i là đơn vị chức năng ảo, căn bậc nhị của -1.

Liên hệ này được vạc hiện tại lần thứ nhất vị Euler và công thức này đã và đang được gọi là công thức Euler. Trong giải tích phức, nếu như vẽ vòng tròn trĩnh đơn vị chức năng bên trên mặt mũi phẳng lì phức, bao gồm những điểm z = e^ix, những nguyệt lão tương tác thân ái số phức và lượng giác trở thành rõ rệt. Ví dụ như các quy trình mô tả vị hàm nón phức với đặc thù tuần trả.

Công thức bên trên cũng được cho phép không ngừng mở rộng nồng độ giác rời khỏi cho tới biến hóa phức z:

Trong tình huống quan trọng, z = x, một vài thực

Định nghĩa vị phương trình vi phân[sửa | sửa mã nguồn]

Cả nhị hàm sin và cos vừa lòng phương trình vi phân

Các hàm này là những hàm trái ngược vết của vi phân bậc nhị của bọn chúng.

Trong không khí vectơ hai phía V chứa chấp toàn bộ những nghiệm của phương trình vi phân bên trên, sin là hàm có một không hai vừa lòng ĐK biên y(0) = 0 và y′(0) = 1, còn cos là hàm có một không hai vừa lòng ĐK biên y(0) = 1 và y′(0) = 0. Hai hàm đó lại song lập tuyến tính nhập V, bọn chúng tạo ra trở nên hệ hạ tầng cho tới V.

Thực tế cơ hội khái niệm này tương tự với việc sử dụng công thức Euler. Phương trình vi phân không chỉ là hoàn toàn có thể được dùng để làm khái niệm sin và cos mà còn phải hoàn toàn có thể được dùng để làm minh chứng những đẳng thức lượng giác cho những hàm này.

Xem thêm: tích phân mặt loại 2

Hàm tan là nghiệm có một không hai của phương trình vi phân phi tuyến sau:

với ĐK biên y(0) = 0. Xem [1] Lưu trữ 2004-06-02 bên trên Wayback Machine cho 1 minh chứng của công thức này.

Các phương trình bên trên chỉ đúng vào khi biến hóa số nhập các hàm lượng giác là radian. Nếu sử dụng đơn vị chức năng đo góc không giống, biến hóa số thay cho thay vị qua quýt một nhân tử k. Ví dụ, nếu như x được xem vị chừng, k tiếp tục là:

Lúc đó:

và vi phân của hàm sin bị thay cho thay đổi nằm trong nhân tử này:

Nghĩa là hàm tiếp tục nên thỏa mãn:

Ví dụ bên trên cho tới hàm sin, điều tương tự động cũng xẩy ra cho tới nồng độ giác không giống.

Các khái niệm khác[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm sin và cos, và các hàm lượng giác không giống suy rời khỏi kể từ nhị hàm này, hoàn toàn có thể được khái niệm là hàm sin và cos nhập quyết định lý sau:

Tồn bên trên có một không hai cặp hàm sin và cos bên trên ngôi trường số thực thỏa mãn:

sin²(x) + cos²(x) = 1
sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)
0 < xcos(x) < sin(x) < x với từng 0 < x < 1

Ở phía trên .

Miền xác lập và miền giá chỉ trị[sửa | sửa mã nguồn]

Các hàm con số giác bên trên ngôi trường số thực với miền xác lập và miền độ quý hiếm được tổng kết nhập bảng sau:

Hàm	Miền xác định	Miền giá chỉ trị
sin	R (toàn cỗ trục số thực)	[-1, 1]
cos	R	[-1, 1]
tang	R/{π/2 + kπ\|k nguyên} (các số thực không giống π/2 + kπ, với k là những số nguyên)	R
cotang	R/{kπ\|k nguyên} (các số thực không giống kπ, với k là những số nguyên)	R

Phương pháp tính[sửa | sửa mã nguồn]

Việc tính độ quý hiếm số cho tới các hàm lượng giác là vấn đề phức tạp. Ngày ni, phần lớn quý khách hoàn toàn có thể sử dụng PC hoặc PC thu về khoa học tập nhằm tính độ quý hiếm những hàm này. Dưới phía trên trình diễn việc sử dụng bảng tính nhập lịch sử dân tộc nhằm tra độ quý hiếm các hàm lượng giác, nghệ thuật tính thời buổi này nhập PC, và một vài độ quý hiếm đúng chuẩn dễ dàng ghi nhớ.

Trước không còn, việc tính độ quý hiếm các hàm lượng giác chỉ việc triệu tập nhập những góc ở, ví dụ, kể từ 0 cho tới π/2, vì như thế độ quý hiếm của các hàm lượng giác ở những góc không giống đều hoàn toàn có thể được suy rời khỏi vị đặc thù tuần trả và đối xứng của những hàm.

Trước Khi với PC, người tao thông thường mò mẫm độ quý hiếm nồng độ giác bằng phương pháp nội suy từ là 1 bảng tính sẵn, có tính đúng chuẩn cho tới nhiều chữ số thập phân. Các bảng tính này thông thường được kiến thiết bằng phương pháp dùng những công thức lượng giác, như công thức phân chia song góc, hoặc công thức nằm trong góc, chính thức từ là 1 vài ba độ quý hiếm đúng chuẩn (như sin(π/2)=1).

Các PC văn minh sử dụng nhiều nghệ thuật không giống nhau (Kantabutra, 1996). Một cách thức thông dụng, quan trọng cho những PC với những cỗ tính số thập phân, là phối hợp xấp xỉ nhiều thức (ví dụ chuỗi Taylor hữu hạn hoặc hàm hữu tỉ) với những bảng tính sẵn — thứ nhất, PC tìm tới độ quý hiếm tính sẵn nhập bảng nhỏ cho tới góc ở ngay gần góc cần thiết tính nhất, rồi sử dụng nhiều thức nhằm sửa độ quý hiếm nhập bảng về độ quý hiếm đúng chuẩn rộng lớn. Trên những Hartware không tồn tại cỗ số học tập và lô gíc, hoàn toàn có thể sử dụng thuật toán CORDIC (hoặc những nghệ thuật tương tự) nhằm tính hiệu suất cao rộng lớn, vì như thế thuật toán này chỉ sử dụng toán tử trả vị và phép tắc nằm trong. Các cách thức này đều thông thường được thi công sẵn trong số Hartware PC nhằm tăng vận tốc xử lý.

Đối với những góc quan trọng, độ quý hiếm các hàm lượng giác hoàn toàn có thể được xem vị giấy tờ và cây bút nhờ vào quyết định lý Pytago. Ví dụ như sin, cos và tang của những góc là bội của π/60 radian (3 độ) hoàn toàn có thể tính được đúng chuẩn vị giấy tờ cây bút.

Một ví dụ giản dị và đơn giản là tam giác vuông cân nặng với những góc nhọn vị π/4 radian (45 độ). Cạnh kề b vị cạnh đối a và hoàn toàn có thể bịa a = b = 1. Sin, cos và tang của π/4 radian (45 độ) hoàn toàn có thể tính vị quyết định lý Pytago như sau:

Nên:

Một ví dụ không giống là mò mẫm độ quý hiếm nồng độ giác của π/3 radian (60 độ) và π/6 radian (30 độ), hoàn toàn có thể chính thức với tam giác đều phải có những cạnh vị 1. Cả phụ thân góc của tam giác vị π/3 radian (60 độ). Chia song tam giác này trở nên nhị tam giác vuông với góc nhọn π/6 radian (30 độ) và π/3 radian (60 độ). Mỗi tam giác vuông với cạnh sớm nhất là 50%, cạnh huyền vị 1 và cạnh sót lại vị (√3)/2. Như vậy:

Hàm lượng giác ngược[sửa | sửa mã nguồn]

Các nồng độ giác tuần trả, vì vậy nhằm mò mẫm hàm ngược, cần thiết số lượng giới hạn miền của hàm. Dươi đó là khái niệm các hàm lượng giác ngược:

Giới hạn miền	Định nghĩa
-π/2 ≤ y ≤ π/2	y = arcsin(x) Khi và chỉ Khi x = sin(y)
0 ≤ y ≤ π	y = arccos(x) Khi và chỉ Khi x = cos(y)
-π/2 < y < π/2	y = arctan(x) Khi và chỉ Khi x = tan(y)
0 < hắn < π	y = arccot(x) Khi và chỉ Khi x = cot(y)
0 < y < π và y ≠ π/2	y = arcsec(x) Khi và chỉ Khi x = sec(y)
-π/2 < y < π/2 và y ≠ 0	y = arccsc(x) Khi và chỉ Khi x = csc(y)

Các hàm ngược được ký hiệu là arcsin và arccos

Các nồng độ giác ngược cũng hoàn toàn có thể được khái niệm vị chuỗi vô hạn:

Chúng cũng hoàn toàn có thể được khái niệm trải qua những biểu thức sau, nhờ vào đặc thù bọn chúng là đạo hàm của những hàm không giống.

Công thức bên trên được cho phép không ngừng mở rộng nồng độ giác ngược rời khỏi cho những biến hóa phức:

Một số đẳng thức[sửa | sửa mã nguồn]

Xem thêm thắt Đẳng thức lượng giác

Xem thêm thắt Danh sách tích phân với nồng độ giác, Danh sách tích phân với nồng độ giác ngược

Tính hóa học và ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]

Các nồng độ giác toạ lạc cần thiết nhập lượng giác học tập. Mé ngoài lượng giác học tập, tính tuần trả của bọn chúng hữu ích cho tới việc tế bào phỏng những vận động sóng như sóng năng lượng điện kể từ hoặc tiếng động. Mọi tín hiệu đều hoàn toàn có thể được phân tách trở nên tổng (vô hạn) của những hàm sin và cos ứng với tương đối nhiều tần số; đó là ý tưởng phát minh chủ yếu của phân tách Fourier, dùng để làm giải quyết và xử lý những vấn đề ĐK biên và phương trình đạo hàm riêng biệt.

Các đặc thù cần thiết nhất của các hàm lượng giác nhập lượng giác học tập được thể hiện tại ở phụ thân quyết định lý:

Định lý sin[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý sin tuyên bố cho tới ngẫu nhiên một tam giác nào:

Có thể minh chứng quyết định lý này bằng phương pháp phân chia song tam giác trở nên nhị tam giác vuông, rồi sử dụng khái niệm của hàm sin. (sinA)/a là nghịch tặc hòn đảo của 2 lần bán kính lối tròn trĩnh trải qua phụ thân điểm A, B và C. Định lý sin hoàn toàn có thể dùng để làm tính chừng lâu năm của một cạnh Khi tiếp tục biết chừng lâu năm nhị cạnh sót lại của tam giác. Đây là vấn đề hoặc bắt gặp nhập kỹ thuật tam giác, một nghệ thuật dùng để làm đo khoảng cách nhờ vào việc đo những góc và những khoảng cách dễ dàng đo không giống.

Định lý cos[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý cos là một trong thành phẩm không ngừng mở rộng của quyết định lý Pytago:

Định lý này cũng hoàn toàn có thể được minh chứng bằng sự việc phân chia tam giác trở nên nhị tam giác vuông. Định lý này hoàn toàn có thể được dùng để làm mò mẫm những tài liệu không biết về một tam giác nếu như tiếp tục biết sự cân đối nhị cạnh và một góc.

Nếu góc nhập biểu thức ko được quy ước rõ rệt, ví dụ nhỏ rộng lớn 90°, thì sẽ có được nhị tam giác vừa lòng quyết định lý cos, ứng với nhị góc C ở trong tầm kể từ 0 cho tới 180°Cùng cho 1 độ quý hiếm cos C

Xem thêm: tìm số hạng thứ n của dãy số

Định lý tan[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý tan tuyên bố là:

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

(bằng giờ đồng hồ Anh)

Carl B. Boyer, A History of Mathematics, 2nd ed. (Wiley, Thủ đô New York, 1991).
Eli Maor, Trigonometric Delights Lưu trữ 2006-04-14 bên trên Wayback Machine (Princeton Univ. Press, 1998).
"Trigonometric functions Lưu trữ 2013-01-20 bên trên Wayback Machine", MacTutor History of Mathematics Archive.
Tristan Needham, Visual Complex Analysis, (Oxford University Press, 2000), ISBN 0198534469 Book trang web Lưu trữ 2004-08-03 bên trên Wayback Machine
Vitit Kantabutra, "On hardware for computing exponential and trigonometric functions," IEEE Trans. Computers 45 (3), 328-339 (1996).

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm hypebolic
Định lý Pytago
Đẳng thức lượng giác

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

(bằng giờ đồng hồ Anh)

Khóa học tập lượng giác của Dave Lưu trữ 2005-02-04 bên trên Wayback Machine sử dụng những phần mềm Java nhằm tế bào miêu tả những đặc thù của nồng độ giác.
Vẽ thiết bị thị hàm số trọn vẹn vị Javascript. Chạy bên trên đa số những trình duyệt văn minh.
Công thức tính tương quan cho tới cos Lưu trữ 2007-09-29 bên trên Wayback Machine.