cách tính lũy thừa của số phức

Xin kính chào toàn bộ chúng ta, thời điểm ngày hôm nay bản thân tiếp tục chỉ dẫn chúng ta cách tính lũy quá và khai số phận phức ha.

Mình tiếp tục chỉ dẫn chúng ta tiến hành với dạng đại số và cả dạng lượng giác nhằm những bạn cũng có thể đối chiếu ưu điểm yếu kém của từng cơ hội.

Bạn đang xem: cách tính lũy thừa của số phức

Ngoài rời khỏi thì tôi cũng chỉ dẫn thêm thắt cho mình cách tính lũy quá và khai số phận phức sử dụng máy tính CASIO nhằm mục đích đáp ứng mang đến kì đua Trung học tập Phổ thông Quốc gia.

I. Phép tính lũy thừa

Phép tính lũy quá hoàn toàn có thể tiến hành đơn giản dễ dàng ở dạng đại số và dạng lượng giác.

Tuy nhiên, nếu như số nón rộng lớn thì chúng ta nên ưu tiên tiến hành bên dưới dạng lượng giác rộng lớn.

Trường ăn ý #1. Số phức được mang đến bên dưới dạng Đại số

Cho số phức $z=a+bi$, khi bấy giờ $z^n=(a+bi)^n$

Công thức chứng tỏ mang đến tình huống $n=2, n=3$ và $n=4$

• $(a+bi)^2=(a^2-b^2)+(2ab)i$
• $(a+bi)^3=(a^3-3ab^2)+(3a^2b-b^3)i$
• $(a+bi)^4=(a^4+b^4-6a^2b^2)+(4a^3b-4ab^3)i$

Trong thực hành thực tế, khi cần thiết tính lũy quá của số phức ở dạng đại số các bạn hãy coi số phức là một trong những nhị thức hàng đầu với trở thành là i rồi:

Bước 1. gí dụng những hằng đẳng thức đắng lưu giữ hoặc nhị thức Newton hoặc khái niệm lũy quá nhằm khai triển.

Bước 2. Thu gọn gàng biểu thức tương tự động như thu gọn gàng nhiều thức, tuy nhiên lưu giữ thu gọn gàng luôn luôn $i^n$:

• Nếu $n=4k$ thì $i^n=1$
• Nếu $n=4k+1$ thì $i^n=i$
• Nếu $n=4k+2$ thì $i^n=-1$
• Nếu $n=4k+3$ thì $i^n=-i$

Ví dụ. Tính $i^{2019}, i^{2020}, i^{2021}, i^{2022}$

Lời giải:

$i^{2019}=i^{4.504+3}=-i$

$i^{2020}= i^{4.505}=1$

$i^{2021}= i^{4.505+1}=i$

$i^{2022}=i^{4.505+2}=-1$

Trường ăn ý #2. Số phức được mang đến bên dưới dạng lượng giác

Cho số phức $z=r(\cos \varphi+i\sin \varphi)$, khi bấy giờ $z^n=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)$

II. Phép tính khai căn

Việc khai số phận phức ở dạng đại số khá phức tạp (trừ khai căn bậc hai) nên vô phạm vi ngắn ngủn gọn gàng của nội dung bài viết này tôi chỉ trình diễn cơ hội khai số phận phức bên dưới dạng lượng giác thôi nha chúng ta.

Cho số phức $z=r(\cos \varphi+i\sin \varphi)$ khi bấy giờ $\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}(\cos \frac{\varphi+k2\pi}{n}+i\sin \frac{\varphi+k2\pi}{n})$ với $k=0, 1, 2, \cdots, n-1$

III. Bài tập dượt ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho số phức $z=2+3i$ tính $z^2$

Lời giải:

$(2+3i)^2=2^2+2.2.3i+(3i)^2=4+12i-9=-5+12i$

Vậy $z^2=-5+12i$

Ví dụ 2. Cho số phức $z=(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}i)$ tính $z^5$

Lời giải:

Dễ thấy, dạng lượng giác của số phức $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}i$ là $2(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12})$

Xem thêm:
Cách nhảy số phức kể từ dạng đại số lịch sự dạng lượng giác và ngược lại

Suy rời khỏi $z^5$ tiếp tục vì chưng $2^5(\cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12})=32(\cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12})$ hoặc $(8\sqrt{6}-8\sqrt{2})+(8\sqrt{6}+8\sqrt{2})i$

Vậy $z^5=(8\sqrt{6}-8\sqrt{2})+(8\sqrt{6}+8\sqrt{2})i$

Ví dụ 3. Cho số phức z vì chưng $1+\sqrt{3}i$ tính $\sqrt{z}$

Quá trình thăm dò tòi câu nói. giải:

Đầu tiên tất cả chúng ta tiếp tục nhảy số phức $z=1+\sqrt{3}i$ lịch sự dạng lượng giác.

Xem thêm: hoá sinh pdf

Tiếp theo gót các bạn vận dụng công thức $\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}(\cos \frac{\varphi+k2\pi}{n}+i\sin \frac{\varphi+k2\pi}{n})$, với $k=0, 1, 2, \cdots, n-1$ là đoạn.

Lời giải:

Số phức $z$ đem dạng lượng giác là $r(\cos \varphi+i\sin \varphi)$

$\sqrt{(1)^2+(\sqrt{3})^2}=2$

Lúc bấy giờ, số phức $z=2\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)$

Dễ thấy $r=2$ và $\varphi$ là nghiệm của hệ nhì phương trình nhì ẩn $\left\{\begin{array}{ll}\cos \varphi&=\frac{1}{2} \\\sin \varphi&=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$

Dễ thấy $\varphi=\frac{\pi}{3}$ thỏa mãn nhu cầu hệ phương trình

Vậy dạng lượng giác của số phức $1+\sqrt{3}i$  là $2(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})$

$\sqrt{z}=\sqrt{2}(\cos \frac{\frac{\pi}{3}+k2\pi}{2}+i\sin \frac{\frac{\pi}{3}+k2\pi}{2})$ với $k=0, 1$

Cụ thể $\sqrt{z}$ tiếp tục vì chưng $\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6})$ và $\sqrt{2}(\cos \frac{7\pi}{6}+i\sin \frac{7\pi}{6})$

Vậy nhì căn bậc nhì cần thiết thăm dò là $\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6})$ và $\sqrt{2}(\cos \frac{7\pi}{6}+i\sin \frac{7\pi}{6})$ hoặc $\frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$ và $-\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i$

IV. Tính nhanh chóng lũy quá, căn bậc nhì sử dụng máy tính CASIO

Máy tính CASIO fx-580VN X được chấp nhận các bạn tính được lũy quá nón n, tuy nhiên chỉ được chấp nhận khai căn bậc nhì.

#1. Tính lũy quá sử dụng máy tính Casio

Giả sử cần thiết tính $z^2$ biết số phức $z=2+3i$

Bước 1. Chọn công thức đo lường và tính toán Complex

Bước 2. Nhập biểu thức => nhấn phím =

#2. Tính căn bậc nhì sử dụng máy tính Casio

Giả sử cần thiết tính $\sqrt{z}$ biết $z=1+\sqrt{3}i$

Bước 1. Chọn công thức đo lường và tính toán Complex

Bước 2. Nhập biểu thức $\sqrt{|1+\sqrt{3}i|} \angle \frac{Arg(1+\sqrt{3}i)}{2}$

Bước 3. Nhấn phím =

Vậy nhì căn bậc nhì cần thiết thăm dò là $\frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$ và $–(\frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)$

V. Lời kết

Okay, vì vậy là tôi đã chỉ dẫn cực kỳ cụ thể cho mình cách tính lũy quá và khai số phận phức rồi nhé.

Nếu phép tắc tính lũy quá với nón nhì, nón tía thì bạn cũng có thể tiến hành thẳng với dạng đại số, tuy nhiên nếu như nón cao hơn nữa thì nên tiến hành với dạng lượng giác

Trường ăn ý khai căn cũng vậy, nếu trong trường hợp là căn bậc nhì thì bạn cũng có thể tiến hành với dạng đại số, tuy nhiên nếu trong trường hợp là căn bậc tía, căn bậc tứ, … thì nhất thiết nên tiến hành với dạng lượng giác

Hi vọng kỹ năng vô nội dung bài viết này tiếp tục hữu ích với các bạn. Xin Chào thân ái và hứa hội ngộ chúng ta trong mỗi nội dung bài viết tiếp theo sau !

Đọc thêm:

Xem thêm: sin bình x đạo hàm

• 2 cơ hội giải bất phương trình bậc nhì một ẩn, cực kỳ dễ
• 3 phương pháp tính diện tích S tam giác tạo nên vì chưng tía điểm cực kỳ trị
• Cách thăm dò cực kỳ trị của hàm số nhiều thức (bậc 2 và bậc 3)

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn