cách xác định mặt phẳng

Hình học
Hình chiếu một phía cầu lên trên bề mặt phẳng lặng.
Đại cương Lịch sử
Phân nhánh Bạn đang xem: cách xác định mặt phẳng Euclid Phi Euclid Elliptic Cầu Hyperbol Hình học tập phi Archimedes Chiếu Afin Tổng hợp Giải tích Đại số Số học Diophantos Vi phân Riemann Symplectic Phức Hữu hạn Rời rạc Kỹ thuật số Lồi Tính toán Fractal Liên thuộc
Khái niệm Chiều Phép dựng hình bởi vì thước kẻ và compa Đỉnh Đường cong Đường chéo Góc Song song Vuông góc Đối xứng Đồng dạng Tương đẳng
Không chiều Điểm
Một chiều Đường thẳng Đoạn thẳng Tia Chiều dài
Hai chiều Mặt phẳng Diện tích Đa giác Tam giác Đường cao (tam giác) Cạnh huyền Định lý Pythagoras Hình bình hành Hình vuông Hình chữ nhật Hình thoi Rhomboid Tứ giác Hình thang Hình diều Đường tròn Đường kính Chu vi Diện tích
Ba chiều Thể tích Khối lập phương Hình vỏ hộp chữ nhật Hình trụ tròn Hình chóp Mặt cầu
Bốn chiều / số chiều khác Tesseract Siêu cầu
Nhà hình học
theo tên Aida Aryabhata Ahmes Alhazen Apollonius Archimedes Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Coxeter Descartes Euclid Euler Gauss Gromov Hilbert Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Khayyám Klein Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Pascal Pythagoras Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui al-Yasamin Trương Hành
theo giai đoạn trước Công nguyên Ahmes Baudhayana Manava Pythagoras Euclid Archimedes Apollonius 1–1400s Trương Hành Kātyāyana Aryabhata Brahmagupta Virasena Alhazen Sijzi Khayyám al-Yasamin al-Tusi Yang Hui Parameshvara 1400s–1700s Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Minggatu Euler Sakabe Aida 1700s–1900s Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter Ngày nay Atiyah Gromov
x t s

Trong toán học tập, mặt phẳng là 1 trong mặt mày hai phía phẳng lặng kéo dãn dài vô hạn. Một mặt mày phẳng lặng là quy mô hai phía tương tự động như 1 điểm (không chiều), một đường thẳng liền mạch (một chiều) và không khí thân phụ chiều. Các mặt mày phẳng có thể xuất hiện nay như thể không khí con cái của một không khí đem độ cao rộng lớn, như thể những tường ngăn của 1 căn chống lâu năm đi ra vô hạn, hoặc bọn chúng hoàn toàn có thể đem quyền tồn bên trên song lập, như trong những ĐK của hình học tập Euclid.

Khi chỉ xét riêng biệt nhập không khí Euclide hai phía, mặt phẳng lặng đề cập cho tới toàn cỗ không khí. Nhiều sinh hoạt cơ bạn dạng nhập toán học tập, hình học tập, lượng giác, lý thuyết vật thị và vẽ vật thị được tổ chức bên trên không khí hai phía, hoặc trình bày cách tiếp theo, nhập mặt mày phẳng lặng.

Hình học tập Euclide[sửa | sửa mã nguồn]

Euclid đưa ra sự thay đổi cần thiết trước tiên nhập trí tuệ toán học tập, cách thức định đề của hình học tập.^[1] Ông lựa chọn lấy hữu hạn những thuật ngữ ko thể khái niệm (các khái niệm chung) và những tiên đề (hoặc những tiên đề) cơ bạn dạng tuy nhiên ông đang được dùng nhằm minh chứng những mệnh đề hình học tập không giống nhau. Mặc mặc dù mặt mày phẳng lặng theo gót ý nghĩa sâu sắc văn minh ko thẳng thể hiện một khái niệm nào là nhập cuốn Cơ sở, tuy nhiên nó hoàn toàn có thể được xem như là 1 phần của những định nghĩa công cộng.^[2] Trong dự án công trình của tôi Euclid ko lúc nào dùng những số lượng nhằm đo chiều lâu năm, góc, hay những diện tích S. Do cơ, mặt mày phẳng lặng Euclide ko trọn vẹn tương tự mặt mày phẳng lặng Descartes.

Mặt phẳng lặng nhập không khí Euclide 3 chiều[sửa | sửa mã nguồn]

Phần này chỉ quan hoài cho tới những mặt mày phẳng lặng không khí thân phụ chiều: nhất là nhập R³.

Xác lăm le bởi vì những điểm và đường thẳng liền mạch được chứa[sửa | sửa mã nguồn]

Trong không khí Euclide của ngẫu nhiên chiều nào là, mặt mày phẳng lặng được xác lập độc nhất bởi vì những điều sau:

• 3 điểm ko trực tiếp mặt hàng (các điểm ko phía trên và một lối thẳng).
• Một đường thẳng liền mạch và một điểm ở ngoài đường thẳng liền mạch cơ.
• Hai đường thẳng liền mạch phân biệt phú nhau.
• Hai đường thẳng liền mạch tuy vậy tuy vậy.

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Các mệnh đề sau tồn bên trên nhập không khí Euclide thân phụ chiều tuy nhiên ko tồn bên trên ở những chiều không khí cao hơn nữa, mặc dù bọn chúng đem quy mô chiều không khí cao hơn:

• Hai mặt mày phẳng lặng phân biệt hoặc là tuy vậy song hoặc phú nhau bên trên một đường thẳng liền mạch.
• Một đường thẳng liền mạch hoặc là tuy vậy song với một phía phẳng lặng, hoặc hạn chế nó bên trên một điểm độc nhất, hoặc bị chứa chấp nhập mặt mày phẳng lặng.
• Hai đường thẳng liền mạch phân biệt vuông góc với và một mặt mày phẳng lặng nên tuy vậy song cùng nhau.
• Hai mặt mày phẳng lặng phân biệt vuông góc với và một đường thẳng liền mạch nên tuy vậy song cùng nhau.

Phương trình điểm-pháp tuyến và phương trình tổng quát lác của một phía phẳng[sửa | sửa mã nguồn]

Cũng như các đường thẳng liền mạch được đặt theo hướng nhập không khí hai phía được trình diễn bằng phương pháp dùng phương trình điểm-hệ số góc, mặt mày phẳng lặng nhập không khí thân phụ chiều đem dạng trình diễn ngẫu nhiên dùng một điểm nhập mặt mày phẳng lặng và một vector trực phú với nó (các vector pháp tuyến) nhằm chỉ ra rằng "góc nghiêng" của chính nó.

Cụ thể, đặt  là vectơ nửa đường kính của điểm , bịa là 1 trong vector không giống ko. Mặt phẳng lặng được xác lập bởi vì điểm đó và vector chứa chấp những điểm , đem vectơ nửa đường kính , sao cho tới vector vẽ kể từ  đến  vuông góc với . Nhớ rằng nhì vectơ vuông góc Lúc và chỉ Lúc tích vô vị trí hướng của bọn chúng bởi vì ko, vì thế mặt mày phẳng lặng ước muốn hoàn toàn có thể được tế bào miêu tả như thể tập dượt toàn bộ những điểm sao cho

(Dấu chấm ở phía trên Có nghĩa là một tích vô vị trí hướng của 2 vector, ko nên luật lệ nhân vô phía.) Mở rộng lớn này tiếp tục trở thành

đó đó là phương trình điểm-pháp tuyến của một phía phẳng lặng.^[3] Đây là 1 trong phương trình tuyến tính:

Ngược lại, đơn giản cho là nếu như a, b, c và d là hằng số và a, b, c là ko đôi khi bởi vì ko, thì vật thị của phương trình

là một phía phẳng lặng nhận vector thực hiện pháp tuyến.^[4] Phương trình không xa lạ này so với mặt mày phẳng lặng được gọi là dạng tổng quát của phương trình mặt mày phẳng lặng.^[5]

Ví dụ một phương trình hồi quy đem dạng y = d + ax + cz (with b=-1) thiết lập mặt mày phẳng lặng tương thích nhất nhập không khí thân phụ chiều Lúc đem nhì biến chuyển lý giải.

Biểu thao diễn một phía phẳng lặng với 1 điểm và nhì vectơ phía trên mặt mày phẳng lặng đó[sửa | sửa mã nguồn]

Ngoài đi ra, mặt mày phẳng lặng hoàn toàn có thể được trình diễn một cơ hội thông số là tập dượt toàn bộ những điểm đem dạng

trong cơ s và t nằm trong số thực, cho v và w là những vectơ song lập tuyến tính xác lập mặt mày phẳng lặng, và r₀ là vector thay mặt đại diện cho tới địa điểm của một điểm tùy ý (nhưng cố định) bên trên mặt mày phẳng lặng. Các vectơ v và w hoàn toàn có thể được tưởng tượng như các vectơ chính thức tại r₀ và chỉ theo gót những phía không giống nhau dọc từ mặt mày phẳng lặng. Lưu ý rằng v và w có thể vuông góc, tuy nhiên ko được tuy vậy tuy vậy.

Biễu thao diễn một phía phẳng lặng qua loa thân phụ điểm[sửa | sửa mã nguồn]

Đặt p₁=(x₁, y₁, z₁), p₂=(x₂, y₂, z₂), và p₃=(x₃, y₃, z₃) là những điểm ko trực tiếp mặt hàng.

Phương pháp 1[sửa | sửa mã nguồn]

Các mặt mày phẳng lặng cút qua p₁, p₂, và p₃ hoàn toàn có thể được tế bào miêu tả như thể tập dượt toàn bộ những điểm (x,y,z) thỏa mãn phương trình lăm le thức sau đây:

Phương pháp 2[sửa | sửa mã nguồn]

Để trình diễn mặt mày phẳng lặng bởi vì một phương trình đem dạng , cần thiết giải những hệ phương trình sau:

Hệ hoàn toàn có thể được giải quyết và xử lý bởi vì lăm le lý Cramer và những thao tác thay đổi cơ bạn dạng của quỷ trận. Đặt

Xem thêm: bài thi vào lớp 6

.

Nếu D không giống ko (để cho những mặt mày phẳng lặng ko qua loa gốc tọa độ) những độ quý hiếm của a, b và c hoàn toàn có thể được xem như sau:

Những phương trình này còn có thông số là d. Đặt d bởi vì với số không giống ko và thế nó nhập những phương trình này sẽ sở hữu được một tập dượt nghiệm.

Phương pháp 3[sửa | sửa mã nguồn]

Mặt phẳng lặng này cũng hoàn toàn có thể được trình diễn bởi vì "điểm và một vector pháp tuyến" quy lăm le phía trên. Cho một vector pháp tuyến tương thích bởi vì tích vector

và điểm r₀ hoàn toàn có thể sẽ là một trong mỗi điểm p₁,p₂ hoặc p₃ đã cho tới.^[6]

Vị trí kha khá thân ái 2 mặt mày phẳng[sửa | sửa mã nguồn]

Cho mặt mày phẳng lặng và mặt mày phẳng lặng

Khoảng cơ hội từ là 1 điểm đến lựa chọn một phía phẳng[sửa | sửa mã nguồn]

Cho mặt mày phẳng  và một điểm ko nhất thiết nên phía trên mặt mày phẳng lặng, khoảng cách sớm nhất kể từ cho tới mặt mày phẳng lặng là

Suy ra  nằm bên trên mặt mày phẳng khi và chỉ khi D=0.

Nếu  đem nghĩa rằng a, b, và c được chuẩn chỉnh hoá^[7] thì phương trình trở thành

Một dạng phương trình vector không giống của mặt mày phẳng lặng, được nghe biết như thể dạng pháp tuyến Hesse dựa vào thông số D. Có dạng:^[5]

với  là 1 trong vector pháp tuyến đơn vị chức năng cho tới mặt mày phẳng lặng, là 1 trong vector nửa đường kính của một điểm nằm trong mặt mày phẳng lặng và D₀ là khoảng cách kể từ gốc cho tới mặt mày phẳng lặng.

Công thức tổng quát lác cho những chiều không khí cao hơn nữa hoàn toàn có thể nhanh gọn đạt được bằng phương pháp dùng ký hiệu vector. Cho những siêu mặt mày phẳng lặng đem phương trình , với  là một vector pháp tuyến và  là nửa đường kính vector nhập siêu mặt mày phẳng lặng. Ta ước muốn khoảng cách vuông góc cho tới điểm . Các siêu mặt mày phẳng lặng này cũng hoàn toàn có thể được trình diễn bởi vì phương trình vô hướng , với từng hằng số . Tương tự động vì vậy,  tương tự động cũng hoàn toàn có thể được trình diễn là . Ta cần thiết luật lệ chiếu vô phía của vector  theo phía của . Lưu ý rằng  (do  thoả phương trình của siêu mặt mày phẳng) tao có

.

Đường trực tiếp phú nhau thân ái nhì mặt mày phẳng[sửa | sửa mã nguồn]

Đường trực tiếp phú nhau thân ái nhì mặt mày phẳng lặng  và  với  được chuẩn chỉnh hoá cho tới bởi

với

Điều này còn có được bằng phương pháp để ý rằng những đường thẳng liền mạch nên vuông góc với pháp tuyến của 2 mặt mày phẳng lặng, và vì thế tuy vậy song với tích vectơ của chúng (tích vectơ bởi vì ko Lúc và chỉ Lúc những mặt mày phẳng lặng này tuy vậy tuy vậy, và vì thế ko phú nhau hoặc trọn vẹn trùng nhau).

Phần sót lại của biểu thức đã đạt được bằng phương pháp mò mẫm một điểm tùy ý bên trên đường thẳng liền mạch. Để thực hiện vậy, nhằm ý rằng ngẫu nhiên điểm nào là nhập không khí cũng hoàn toàn có thể được viết lách bên dưới dạng, do là một hạ tầng. Ta mong muốn mò mẫm một điểm phía trên cả nhì mặt mày phẳng lặng (nghĩa là phía trên phú tuyến của chúng), vì thế chèn phương trình này vào cụ thể từng phương trình của từng mặt mày phẳng lặng để sở hữu được nhì phương trình đôi khi hoàn toàn có thể mò mẫm đi ra  và .

Nếu tất cả chúng ta cũng giả thiết rằng  và  là trực phú thì điểm sớm nhất bên trên phú tuyến cho tới gốc là . Nếu ko nên là tình huống cơ, thì một giấy tờ thủ tục phức tạp rộng lớn nên được dùng.^[8]

Góc thân ái nhì mặt mày phẳng[sửa | sửa mã nguồn]

Cho nhì mặt mày phẳng lặng phú nhau được tế bào miêu tả bởi vì  và, thì góc thân ái nhì mặt mày phẳng lặng này được khái niệm là góc  giữa những đường thẳng liền mạch chứa chấp 2 pháp tuyến của chúng:

Mặt phẳng trong những nghành không giống nhau của toán học[sửa | sửa mã nguồn]

Bên cạnh cấu hình hình học tập không xa lạ, với những luật lệ đẳng cấu đem những đẳng cự cùng theo với tích nhập thường thì, mặt mày phẳng lặng hoàn toàn có thể được coi ở những Lever trừu tượng không giống nhau. Mỗi Lever trừu tượng ứng với 1 phân mục rõ ràng.

Ở một thái cực kỳ, toàn bộ những định nghĩa hình học tập và chuẩn chỉnh đo hệ mét hoàn toàn có thể bị vứt bề ngoài phẳng lặng topo, tuy nhiên hoàn toàn có thể được nhìn nhận như 1 tấm cao su đặc vô hạn đồng luân tầm thông thường được hoàn hảo hóa, tuy vậy vẫn giữ lại một định nghĩa về khoảng cách, tuy nhiên ko tồn bên trên khoảng cách. Mặt phẳng lặng topo mang 1 định nghĩa về đường thẳng liền mạch tuyến tính, tuy nhiên không tồn tại định nghĩa về một đường thẳng liền mạch. Mặt phẳng lặng topo, hoặc sự tương tự với hình tròn trụ há của chính nó, là miền phụ cận topo căn bạn dạng được dùng nhằm xây cất những mặt phẳng (hoặc những nhiều tạp 2 chiều) được xếp nhập loại topo không nhiều chiều. Các phép đẳng cấu của mặt mày phẳng lặng topo đều là tuy vậy ánh liên tiếp. Mặt phẳng lặng topo đó là văn cảnh ngẫu nhiên cho những nhánh của lý thuyết vật thị tuy nhiên giải quyết và xử lý các đồ thị phẳng lặng, và đem những sản phẩm ví dụ như lăm le lý tứ color.

Mặt phẳng lặng cũng hoàn toàn có thể được coi như thể không khí affine, tuy nhiên luật lệ đẳng cấu của chính nó là việc phối hợp của những luật lệ tịnh tiến thủ và bạn dạng vật tuyến tính ko suy biến chuyển. Từ quan liêu điểm đó suy đi ra ko tồn bên trên khoảng cách, tuy nhiên tính nằm trong tuyến và tỷ trọng khoảng cách bên trên ngẫu nhiên đường thẳng liền mạch nào là đều được bảo toàn.

Hình học tập vi phân coi một phía phẳng lặng như 1 nhiều tạp thực 2 chiều, là 1 trong mặt mày phẳng lặng topo được hỗ trợ kèm cặp một cấu hình vi phân. Một đợt nữa nhập tình huống này, không tồn tại định nghĩa về khoảng cách, tuy nhiên hiện nay mang 1 định nghĩa về tính chất bóng của xạ hình họa, ví như một đường thẳng liền mạch khả vi hoặc trơn nhẵn (phụ nằm trong nhập loại cấu hình vi phân được áp dụng). Các luật lệ đẳng cấu nhập tình huống này tà tà tuy vậy ánh với cường độ được lựa chọn theo gót sự khả vi.

Theo phía đối lập của sự việc trừu tượng, tất cả chúng ta hoàn toàn có thể vận dụng một cấu hình ngôi trường tương quí với mặt mày phẳng lặng hình học tập, dẫn đến những mặt mày phẳng lặng phức và những nghành chủ yếu của giải tích phức. Các ngôi trường phức chỉ mất nhì luật lệ đẳng cấu tuy nhiên ly khai đường thẳng liền mạch thực thắt chặt và cố định, luật lệ hệt nhau và luật lệ phối hợp.

Theo nằm trong cơ hội như trong những tình huống thực tiễn, mặt mày phẳng lặng cũng hoàn toàn có thể được coi như thể nhiều tạp phức giản dị và đơn giản nhất, một chiều (trên ngôi trường số phức), nhiều lúc gọi là lối phức. Tuy nhiên, quan liêu điểm đó trái chiều với tình huống mặt mày phẳng lặng như 1 nhiều tạp thực 2 chiều. Các luật lệ đẳng cấu đều là tuy vậy ánh bảo giác của mặt mày phẳng lặng phức, tuy nhiên kĩ năng đơn giản những xạ hình họa ứng với những bộ phận của một luật lệ nhân một số trong những phức với 1 luật lệ tịnh tiến thủ.

Ngoài đi ra, hình học tập Euclide (trong cơ chừng cong bởi vì ko ở từng tất cả nơi) ko nên là hình học tập độc nhất tuy nhiên mặt mày phẳng lặng hoàn toàn có thể đem. Mặt phẳng lặng hoàn toàn có thể được cho 1 hình dáng học tập hình cầu bằng phương pháp dùng luật lệ chiếu lập thể. Điều này hoàn toàn có thể coi như bịa một khối cầu bên trên mặt mày phẳng lặng (giống như 1 trái ngược bóng bên trên sàn nhà), vô hiệu hóa điểm đầu, và chiếu hình cầu lên trên bề mặt phẳng lặng kể từ điểm này). Đây là 1 trong trong những luật lệ chiếu tuy nhiên hoàn toàn có thể được dùng trong những việc dẫn đến một bạn dạng vật phẳng lặng của 1 phần của mặt phẳng Trái khu đất. Các hình dáng học tập nhận được có tính cong dương liên tiếp.

Xem thêm: công thức niu tơn

Ngoài đi ra, mặt mày phẳng lặng cũng hoàn toàn có thể được hỗ trợ một chuẩn chỉnh đo hệ mét tuy nhiên đưa đến cho tới nó mặt mày phẳng lặng hyperbol có tính cong âm ko thay đổi. Khả năng loại nhì là nhìn thấy một phần mềm nhập thuyết kha khá quan trọng đặc biệt nhập tình huống giản dị và đơn giản hoá, điểm đem hai phía không khí và một chiều thời hạn. (Các mặt mày phẳng lặng hyperbol là 1 trong siêu mặt phẳng loại thời hạn nhập không khí Minkowski thân phụ chiều.)

Ghi chú về hình học tập tôpô và hình học tập vi phân[sửa | sửa mã nguồn]

Sự không ngừng mở rộng compac bên trên một điểm của mặt mày phẳng lặng là đồng phôi với hình cầu (xem luật lệ chiếu lập thể); hình tròn trụ há là đồng phôi với 1 khối cầu đem "cực Bắc" mất mặt tích; tăng điểm cơ bổ sung cập nhật khối cầu (compact). Kết trái ngược của sự việc không ngừng mở rộng compac này là 1 trong nhiều tạp gọi tắt là khối cầu Riemann hoặc lối xạ hình họa phức. Phép chiếu kể từ mặt mày phẳng lặng Euclide cho tới một trái ngược cầu tuy nhiên không tồn tại một điểm là 1 trong bạn dạng vật vi đồng phôi và thậm chí còn bảo giác.

Mặt phẳng lặng bạn dạng thân ái là đồng phôi (và vi đồng phôi) cho tới một hình tròn trụ há. Đối với mặt mày phẳng lặng hyperbol thì vi đồng phôi là bảo giác, tuy nhiên so với những mặt mày phẳng lặng Euclide ko nên vậy.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

• Flat (geometry)
• Half-plane
• Hyperplane
• Line-plane intersection
• Plane of incidence
• Plane of rotation
• Point on plane closest đồ sộ origin
• Projective plane

Ghi chú[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

• Anton, Howard (1994), Elementary Linear Algebra (ấn bạn dạng 7), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58742-7
• Eves, Howard (1963), A Survey of Geometry, I, Boston: Allyn and Bacon, Inc.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

• Hazewinkel, Michiel chỉnh sửa (2001), “Plane”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Weisstein, Eric W., "Plane" kể từ MathWorld.
• "Easing the Difficulty of Arithmetic and Planar Geometry" is an Arabic manuscript, from the 15th century, that serves as a tutorial about plane geometry and arithmetic.