Bất đẳng thức Cô si

Chuyên đề Toán lớp 9 luyện đua vô lớp 10

Bất đẳng thức Cô si là một trong những dạng toán nâng lên đem trong những đề đua tuyển chọn sinh vô lớp 10 môn Toán. Để gom những em nắm rõ kỹ năng và kiến thức phần này, VnDoc gửi cho tới chúng ta tư liệu Bất đẳng thức Cô si. Tài liệu bao hàm một số trong những kỹ năng và kiến thức nên nhớ về bất đẳng thức Cauchy, kèm cặp Từ đó là những bài xích tập dượt cơ phiên bản và nâng lên về bất đẳng thức Cô si, cho những em ôn tập dượt, sẵn sàng kĩ lưỡng mang đến kì đua cần thiết tiếp đây.

Bạn đang xem: công thức bất đẳng thức cosi lớp 9

Bản quyền thuộc sở hữu VnDoc.
Nghiêm cấm từng mẫu mã sao chép nhằm mục đích mục tiêu thương nghiệp.

I. Một số kỹ năng và kiến thức nên nhớ về bất đẳng thức Cauchy (Cô si)

1. Phát biểu

+ Bất đẳng thức Cô si của n số thực ko âm được tuyên bố như sau: Trung bình nằm trong của n số thực ko âm luôn luôn to hơn hoặc vày khoảng nhân của bọn chúng và lốt vày xẩy ra Lúc và chỉ Lúc n số cơ cân nhau.

+ Nghĩa là:

- Bất đẳng thức Cô si với 2 số thực ko âm:

$\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab}$

Dấu “=” xẩy ra Lúc và chỉ Lúc a = b

- Bất đẳng thức Cô si với n số thực ko âm:

$\frac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}}}{n} \ge \sqrt[n]{{{x_1}{x_2}...{x_n}}}$

Dấu “=” xẩy ra Lúc và chỉ Lúc ${x_1} = {x_2} = ... = {x_n}$

2. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy (Cô si) với 2 số thực a và b ko âm

+ Với a = 0, b = 0 thì bất đẳng thức luôn luôn trực tiếp đích. Với a, b > 0, tao triệu chứng minh:

$\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \\ \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0 \end{array}$

Suy rời khỏi bất đẳng thức luôn luôn đích với từng a, b ko âm

3. Hệ ngược của bất đẳng thức Cauchy (Cô si)

+ Hệ ngược 1: nếu như tổng nhì số dương ko thay đổi thì tích của bọn chúng rộng lớn nhất lúc nhì số cơ vày nhau

+ Hệ ngược 2: nếu như tích nhì số dương ko thay đổi thì tổng của của nhì số này nhỏ nhất lúc nhì số cơ vày nhau

II. Bài tập dượt về bất đẳng thức Cô si lớp 9

Bài 1: Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức $A = x + \frac{7}{x}$ với x > 0

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si mang đến nhì số x > 0 và tao có:

$x + \frac{7}{x} \ge 2\sqrt {x.\frac{7}{x}} = 2\sqrt 7$

Dấu “=” xẩy ra Lúc và chỉ Lúc $x = \frac{7}{x} \Leftrightarrow {x^2} = 7 \Leftrightarrow x = \sqrt 7$ (do x > 0)

Vậy min $A = 2\sqrt 7 \Leftrightarrow x = \sqrt 7$

Bài 2: Cho x > 0, nó > 0 vừa lòng ĐK $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}$ . Tìm độ quý hiếm lớn số 1 của biểu thức $A = \sqrt x + \sqrt y$

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si mang đến nhì số x > 0, nó > 0 tao có:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge 2\sqrt {\frac{1}{x}.\frac{1}{y}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} \ge \frac{2}{{\sqrt {xy} }} \Leftrightarrow \sqrt {xy} \ge 4$

Lại đem, vận dụng bất đẳng thức Cô si mang đến nhì số x > 0, nó > 0 tao có:

$\sqrt x + \sqrt nó \ge 2\sqrt {\sqrt {xy} } = 2\sqrt 4 = 4$

Xem thêm: truc hoanh

Dấu “=” xẩy ra Lúc và chỉ Lúc $\left\{ \begin{array}{l} x = y\\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = nó = 4$

Vậy minA = 4 Lúc và chỉ Lúc x = nó = 4

Bài 3: Chứng minh với phụ thân số a, b, c ko âm vừa lòng a + b + c = 3 thì:

$\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{3}{2}$

Nhận xét: Bài toán đạt được lốt vày Lúc và chi Lúc a = b = c = 1. Ta tiếp tục dùng cách thức thực hiện trội thực hiện hạn chế như sau:

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si mang đến phụ thân số a, b, c ko âm có:

$\frac{a}{{b + c}} + \frac{{b + c}}{4} + \frac{1}{{2a}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{a}{{b + c}}.\frac{{b + c}}{4}.\frac{1}{{2a}}}} = 3\sqrt[3]{{\frac{1}{8}}} = \frac{3}{2}$

Tương tự động tao đem $\frac{b}{{c + a}} + \frac{{c + a}}{4} + \frac{1}{{2b}} \ge \frac{3}{2}$ và $\frac{c}{{a + b}} + \frac{{a + b}}{4} + \frac{1}{{2c}} \ge \frac{3}{2}$

Cộng vế với vế tao có:

$\frac{a}{{b + c}} + \frac{{b + c}}{4} + \frac{1}{{2a}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{{c + a}}{4} + \frac{1}{{2b}} + \frac{c}{{a + b}} + \frac{{a + b}}{4} + \frac{1}{{2c}} \ge 3.\frac{3}{2} = \frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} + \frac{{2\left( {a + b + c} \right)}}{4} + \frac{{ab + bc + ca}}{{2abc}} \ge \frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} + \frac{{a + b + c}}{2} + \frac{{a + b + c}}{2} \ge \frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2}$

Dấu “=” xẩy ra Lúc và chỉ Lúc a = b = c = 1

III. Bài tập dượt về bất đẳng thức Cô si

Bài 1: Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của những biểu thức sau:

a, $B = \frac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 9} \right)}}{x}$ với x > 0

(gợi ý: thay đổi $B = \frac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 9} \right)}}{x} = \frac{{{x^2} + 13x + 36}}{x} = x + 13 + \frac{{36}}{x}$ rồi vận dụng bất đẳng thức Cô si)

b, $C = \frac{{{{\left( {x + 10} \right)}^2}}}{x}$ với x > 0

c, $D = \frac{x}{3} + \frac{3}{{x - 2}}$ với x > 2

(gợi ý: thay đổi rồi vận dụng bất đẳng thức Cô si)

Bài 2: Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức $P = x + \frac{1}{y} + \frac{4}{{x - y}}$ với x > nó > 0

(gợi ý: thay đổi $P = x - nó + \frac{4}{{x - y}} + nó + \frac{1}{y}$ )

Bài 3: Với a, b, c là những số thực ko âm, triệu chứng minh:

$\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9$

(gợi ý vận dụng bất đẳng thức Cô si mang đến phụ thân số a, b, c ko âm)

Bài 4: Cho phụ thân số thực dương a, b, c vừa lòng a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

$\frac{{b + c}}{a} + \frac{{c + a}}{b} + \frac{{a + b}}{c} \ge 6$

(gợi ý dùng cách thức thực hiện trội)

-------------------

Xem thêm: giai phuong trinh bac 2

Trên phía trên VnDoc.com một vừa hai phải gửi cho tới độc giả nội dung bài viết Bất đẳng thức Cô si. Tài liệu gom chúng ta học viên ôn tập dượt những kỹ năng và kiến thức, sẵn sàng cho những bài xích đua học tập kì và ôn đua vô lớp 10 hiệu suất cao nhất.

Ngoài những dạng Toán 9 ôn đua vô lớp 10 bên trên, chào chúng ta học viên tìm hiểu thêm những đề đua học tập kì 2 lớp 9 và những tư liệu Thi vô lớp 10 bên trên VnDoc nhé. Với tư liệu này gom chúng ta tập luyện thêm thắt khả năng giải đề và thực hiện bài xích chất lượng rộng lớn. Chúc chúng ta ôn đua tốt!

Để tiện trao thay đổi, share tay nghề về giảng dạy dỗ và học hành những môn học tập lớp 9, VnDoc chào những thầy giáo viên, những bậc bố mẹ và chúng ta học viên truy vấn group riêng biệt giành riêng cho lớp 9 sau: Nhóm Luyện đua lớp 9 lên 10 . Rất ước cảm nhận được sự cỗ vũ của những thầy cô và chúng ta.