Công thức tính thể tích khối tròn xoay và ví dụ minh họa

Khối tròn xoe xoay là gì? Cách tính thể tích khối tròn xoe xoay như vậy nào?

Bạn đang xem: công thức thể tích khối tròn xoay

Khối tròn xoe xoay là 1 trong những khối hình được tạo ra bằng phương pháp cù một phía bằng xung quanh một trục thắt chặt và cố định như khối nón tròn xoe xoay, khối trụ tròn xoe xoay, khối cầu tròn xoe xoay,... Dưới đấy là công thức tính thể tích khối tròn xoe xoay, mời mọc chúng ta tìm hiểu thêm.

Các khối tròn xoe xoay thông thường gặp: Khối tròn xoe xoay hình trụ, khối tròn xoe xoay hình nón, khối tròn xoe xoay hình cầu.

Tính thể tích khối tròn xoe xoay xung quanh trục Ox

Nếu khối tròn xoe xoay xung quanh trục Ox thì nhằm tính thể tích khối tròn xoe xoay hoàn toàn có thể vận dụng những công thức sau:

Trường hợp ý 1: Khối tròn xoe xoay tạo ra bởi:

Đường trực tiếp y= f(x)
Trục hoành y=0
x=a; x=b

Khi bại liệt, công thức tính thể tích là:

$V=\pi \int_a^b f^2(x) d x$

Trường hợp ý 2: Khối tròn xoe xoay được tạo ra bởi:

Đường trực tiếp y= f(x)
Đường trực tiếp y= g(x)
x=a; x=b

Khi bại liệt công thức tính thể tích khối tròn xoe xoay tiếp tục là:

$V=\pi \int_a^b\left[f^2(x)-g^2(x)\right] d x(g(x) \leq f(x) )$ với $\forall x\in[a;b]$

Tính thể tích khối tròn xoe xoay xung quanh trục Oy

Nếu khối tròn xoe xoay xung quanh trục Oy thì nhằm tính thể tích khối tròn xoe xoay hoàn toàn có thể vận dụng những công thức sau:

Trường hợp ý 1: Khối tròn xoe xoay được tạo ra bởi:

Đường x=g(y)
Trục tung (x=0)
y=c; y=d

Khi bại liệt công thức tính thể tích khối tròn xoe xoay tiếp tục là:

$V=\pi \int_c^d g^2(y) d y$

Trường hợp ý 2: Khối tròn xoe xoay được tạo ra bởi

Đường x=f(y)
Đương x=g(y)
y=c; y=d

Khi bại liệt thể tích khối tròn xoe xoay tiếp tục là:

$V=\pi \int_c^d\left[f^2(y)-g^2(y)\right] d hắn \quad(g(y) \leq f(y))$ với $\forall y\in[c;d]$

Bảng tóm lược công thức tính thể tích khối tròn xoe xoay:

1. V_x sinh vày diện tích S S cù xung xung quanh Ox:

2. V_x sinh vày diện tích S S cù xung xung quanh Ox:

Ví dụ về tính chất thể tích khối tròn xoe xoay

Ví dụ 1:

Tính thể tích của khối tròn xoe xoay nhận được khi cù hình bằng được số lượng giới hạn vày lối cong hắn = sinx, trục hoành và hai tuyến phố trực tiếp x=0, x=π (hình vẽ) xung quanh trục Ox.

Lời giải

Áp dụng công thức ở quyết định lý bên trên tao có

$V=\pi \int_0^\pi \sin ^2 x d x=\frac{\pi}{2} \int_0^\pi(1-\cos 2 x) d x$

$=\left.\frac{\pi}{2}\left(x-\frac{1}{2} \sin 2 x\right)\right|_0 ^\pi$

$=\frac{\pi}{2}\left(\pi-\frac{1}{2} \sin 2 \pi\right)-\frac{\pi}{2}\left(0-\frac{1}{2} \sin 0\right)$

$=\frac{\pi^2}{2}$

Ví dụ 2:

Tính thể tích khối tròn xoe xoay nhận được khi cù hình bằng được số lượng giới hạn vày lối cong $y=\sqrt{A^2-x^2}$ và trục hoành xung quanh trục hoành.

Tính thể tích khối tròn xoe xoay nhận được khi cù hình bằng được số lượng giới hạn vày lối cong và trục hoành xung quanh trục hoành

Xem thêm: thcs bình tây

Giải:

Ta thấy:

$y=\sqrt{A^2-x^2}<=>\ y^2=A^2\ -x^2\ \ <=>\ y^2\ +x^2\ =\ A^2$

Do $\sqrt{A^2-x^2}\ge\ 0$ với từng x, vậy nên đấy là phương trình nửa lối tròn xoe tâm O, nửa đường kính R = A ở phía bên trên trục Ox. Khi xoay quanh trục Ox thì hình bằng tiếp tục tạo ra một khối cầu tâm O, nửa đường kính R = A (hình vẽ). Do vậy tao sở hữu luôn

$V=\frac{4}{3}\pi A^3$

Vậy với việc dạng này, tao ko cần thiết viết lách công thức tích phân tuy nhiên tóm lại luôn luôn bám theo công thức tính thể tích khối cầu.

Ví dụ 3:

Tính thể tích của vật thể nằm trong lòng nhì mặt mũi bằng x = 0 và x = 1, biết tiết diện của vật thể tách vày mặt mũi bằng (P) vuông góc với trục Ox bên trên điểm sở hữu hoành phỏng x(0≤x≤1) là 1 trong những hình chữ nhật có tính nhiều năm nhì cạnh là x và ln(x²+1).

Giải:

Do tiết diện là hình chữ nhật nên diện tích S tiết diện là:

$S(x)=x\ln(x2^{ }+1)$

Ta hoàn toàn có thể tích cần thiết tính là

$\mathrm{V}=\int_0^1 \mathrm{x} \ln \left(\mathrm{x}^2+1\right) \mathrm{dx}$

$\mathrm{V}=\frac{1}{2} \int_0^1 \ln \left(\mathrm{x}^2+1\right) \mathrm{d}\left(\mathrm{x}^2+1\right)$

$=\left.\frac{1}{2}\left(\mathrm{x}^2+1\right) \ln \left(\mathrm{x}^2+1\right)\right|_0 ^1-\frac{1}{2} \int_0^1\left(\mathrm{x}^2+1\right) \mathrm{d}\left(\ln \left(\mathrm{x}^2+1\right)\right)$

$=\ln 2-\frac{1}{2} \int_0^1 2 x d x=\ln 2-\frac{1}{2}$

Ví dụ 4: Cho hình bằng số lượng giới hạn vày những lối hắn = 3x; hắn = x; x = 0; x = 1 cù xung xung quanh trục Ox. Tính thể tích của khối tròn xoe xoay tạo ra trở nên.

Cho hình bằng số lượng giới hạn vày những lối hắn = 3x; hắn = x; x = 0; x = 1 cù xung xung quanh trục Ox

Giải:

Tọa phỏng gửi gắm điểm của lối x = 1 với hắn = x và hắn = 3x là những điểm C(1;1) và B(3;1). Tọa phỏng gửi gắm điểm của lối hắn = 3x với hắn = x là O(0;0).

Vậy thể tích của khối tròn xoe xoay cần thiết tính là:

$V=\pi \int_0^1\left|9 x^2-x^2\right| d x=\pi \int_0^1 8 x^2 d x$

$\Leftrightarrow V=\left.\pi \frac{8 x^3}{3}\right|_0 ^1=\frac{8}{3} \pi$

Ví dụ 5: Cho hình bằng số lượng giới hạn vày những lối hắn = 2x²; y² = 4x cù xung xung quanh trục Ox. Tính thể tích của khối tròn xoe xoay tạo ra trở nên.

Cho hình bằng số lượng giới hạn vày những lối hắn = 2x2; y2 = 4x cù xung xung quanh trục Ox

Giải:

Với $x\in[0;2]$ thì $y^2=4x$ tương tự $y=2\sqrt{x}$ . Tọa phỏng gửi gắm điểm của lối $\mathrm{y}=2 \mathrm{x}^2$ với $\mathrm{y}^2=4 \mathrm{x}$ là những điểm O(0;0) và A(1;2).

Vậy thể tích của khối tròn xoe xoay cần thiết tính là:

$V=\pi \int_0^1\left|4 x-4 x^4\right| d x=\pi \int_0^1\left(4 x-4 x^4\right) d x$

$V=\left.\pi \cdot\left(2 x^2-\frac{4 x^5}{5}\right)\right|_0 ^1=\frac{6}{5} \pi$

Với những việc đòi hỏi tính thể tích khối tròn xoe xoay, các bạn chỉ việc dùng trúng công thức mang đến từng tình huống và chú ý khi xác lập cận là hoàn toàn có thể giải được. Chúc chúng ta thành công xuất sắc.

Xem thêm: công thức