Đẳng thức lượng giác

Bách khoa toàn thư há Wikipedia

Lượng giác

Khái quát Lịch sử Ứng dụng Hàm Hàm ngược
Tham khảo
Đẳng thức Giá trị quánh biệt Bảng Đường tròn trĩnh đơn vị
Định lý
Sin Cos Tang Cotang Pythagoras
Vi tích phân
Phép thế lượng giác Tích phân Hàm nghịch tặc đảo Đạo hàm
x t s

Trong toán học tập, những đẳng thức lượng giác là những phương trình chứa chấp những dung lượng giác, đích với cùng một dải rộng lớn những độ quý hiếm của biến hóa số.

Bạn đang xem: đẳng thức lượng giác

Các đẳng thức này hữu ích cho tới việc rút gọn gàng những biểu thức chứa chấp dung lượng giác. Ví dụ trong các công việc tính tích phân với những hàm ko nên là lượng giác: hoàn toàn có thể thay cho bọn chúng vì chưng những dung lượng giác và người sử dụng những đẳng thức lượng giác nhằm giản dị và đơn giản hóa luật lệ tính.

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Tuần trả, đối xứng và tịnh tiến[sửa | sửa mã nguồn]

Các đẳng thức sau hoàn toàn có thể thường thấy bên trên vòng tròn trĩnh đơn vị:

Tuần trả (k nguyên)	Đối nhau:	Phụ nhau	Bù nhau	Hơn xoàng nhau	Hơn xoàng nhau

Đẳng thức sau cũng nhiều lúc hữu ích:

với

Đẳng thức Pytago[sửa | sửa mã nguồn]

Các đẳng thức sau phụ thuộc vào quyết định lý Pytago.

Đẳng thức thứ hai và 3 hoàn toàn có thể suy đi ra kể từ đẳng thức đầu vì chưng phân tách nó cho tới cos²(x) và sin²(x).

Công thức nằm trong trừ lượng giác[sửa | sửa mã nguồn]

Xem thêm thắt Định lý Ptolemy

Cách minh chứng thời gian nhanh những công thức này là người sử dụng công thức Euler.

với

và

Công thức góc bội[sửa | sửa mã nguồn]

Bội hai[sửa | sửa mã nguồn]

Các công thức sau hoàn toàn có thể suy đi ra kể từ những công thức bên trên. Cũng hoàn toàn có thể người sử dụng công thức de Moivre với n = 2.

Công thức góc kép hoàn toàn có thể dùng làm dò xét cỗ thân phụ Pytago. Nếu (a, b, c) là cỗ thân phụ Pytago thì (a² − b², 2ab, c²) cũng vậy.

Bội ba[sửa | sửa mã nguồn]

Cơ bản[sửa | sửa mã nguồn]

Ví dụ của tình huống n = 3:

Nâng cao[sửa | sửa mã nguồn]

Công thức hạ bậc[sửa | sửa mã nguồn]

Giải những phương trình ở công thức bội cho tới cos²(x) và sin²(x), thu được:

Công thức góc phân tách đôi[sửa | sửa mã nguồn]

Thay x/2 cho tới x nhập công thức bên trên, rồi giải phương trình cho tới cos(x/2) và sin(x/2) nhằm thu được:

Dẫn đến:

Nhân với hình mẫu số và tử số 1 + cos x, rồi người sử dụng quyết định lý Pytago nhằm giản dị và đơn giản hóa:

Tương tự động, lại nhân với hình mẫu số và tử số của phương trình (1) vì chưng 1 − cos x, rồi giản dị và đơn giản hóa:

Suy ra:

Nếu

thì:

Xem thêm: công thức chuyển động

and

Phương pháp người sử dụng t thay cho thế như bên trên hữu ích nhập giải tích nhằm gửi những tỷ trọng thức chứa chấp sin(x) và cos(x) trở nên hàm của t. Cách này gom tính đạo hàm của biểu thức đơn giản và dễ dàng.

Biến tích trở nên tổng[sửa | sửa mã nguồn]

Dùng công thức tổng và hiệu góc bên trên hoàn toàn có thể suy đi ra.

Biến tổng trở nên tích[sửa | sửa mã nguồn]

Thay x vì chưng (x + y) / 2 và y vì chưng (x – y) / 2, suy ra:

Hàm lượng giác ngược[sửa | sửa mã nguồn]

Dạng số phức[sửa | sửa mã nguồn]

với

Tích vô hạn[sửa | sửa mã nguồn]

Trong những phần mềm với hàm quan trọng, những tích vô hạn sau đem ích:

Đẳng thức số[sửa | sửa mã nguồn]

Cơ bản[sửa | sửa mã nguồn]

Richard Feynman kể từ nhỏ đang được lưu giữ đẳng thức sau:

Tuy nhiên nó là tình huống riêng rẽ của:

Đẳng thức số sau không được tổng quát lác hóa với biến hóa số:

Đẳng thức sau đã cho chúng ta thấy Đặc điểm của số 21:

Một phương pháp tính pi hoàn toàn có thể phụ thuộc vào đẳng thức số sau, bởi John Machin dò xét thấy:

hay người sử dụng công thức Euler:

Một số độ quý hiếm lượng giác thông dụng:

Dùng tỷ trọng vàng φ:

- -

Nâng cao[sửa | sửa mã nguồn]

Giải tích[sửa | sửa mã nguồn]

Các công thức nhập giải tích sau người sử dụng góc đo vì chưng radian

Các đẳng thức sau hoàn toàn có thể suy đi ra kể từ bên trên và những quy tắc của đạo hàm:

Các biểu thức về tính chất tích phân hoàn toàn có thể dò xét bên trên list tích phân với dung lượng giác và list tích phân với dung lượng giác ngược.

Hàm lượng giác nghịch tặc đảo[sửa | sửa mã nguồn]

Các dung lượng giác tuần trả, vậy nên nhằm dò xét hàm nghịch tặc hòn đảo, cần thiết số lượng giới hạn miền của hàm. Dươi đấy là khái niệm những dung lượng giác nghịch tặc đảo:

Giới hạn miền	Định nghĩa
-π/2 < y < π/2	y = arcsin(x) Khi và chỉ Khi x = sin(y)
0 < y < π	y = arccos(x) Khi và chỉ Khi x = cos(y)
-π/2 < y < π/2	y = arctan(x) Khi và chỉ Khi x = tan(y)
-π/2 < y < π/2 và y ≠ 0	y = arccot(x) Khi và chỉ Khi x = cot(y)
0 < y < π và y ≠ π/2	y = arcsec(x) Khi và chỉ Khi x = sec(y)
-π/2 < y < π/2 và y ≠ 0	y = arccsc(x) Khi và chỉ Khi x = csc(y)

Các hàm nghịch tặc hòn đảo hoàn toàn có thể được ký hiệu là sin⁻¹ hoặc cos⁻¹ thay cho cho tới arcsin và arccos. Việc người sử dụng ký hiệu nón hoàn toàn có thể khiến cho lầm lẫn với hàm nón của dung lượng giác.

Xem thêm: thpt ten lơ man

Các dung lượng giác nghịch tặc hòn đảo cũng hoàn toàn có thể được khái niệm vì chưng chuỗi vô hạn: