đạo hàm hàm phân thức

Để tính đạo hàm của hàm phân thức hữu tỉ thì chúng ta dùng công cộng một công thức:

$\left(\dfrac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’.v-u.v’}{v^2}$

Bạn đang xem: đạo hàm hàm phân thức

Một số dạng đặc trưng của hàm phân thức:

$ \left (\dfrac{1}{x}\right)’=\dfrac{-1}{x^2}$; $ \left (\dfrac{1}{u}\right)’=\dfrac{-u’}{u^2}$

Tuy nhiên cũng đều có một trong những hàm phân thức tất cả chúng ta rất có thể dùng những công thức tính đạo hàm nhanh chóng. Thầy tiếp tục thưa rõ ràng vào cụ thể từng dạng bên dưới nhé.

Các em coi tăng bài bác giảng:

• Cách tính đạo hàm của hàm căn thức
• Cách tính đạo hàm của hàm số hợp
• Cách tính đạo hàm của nồng độ giác
• Cách tính đạo hàm của hàm số logarit

1. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 1/ bậc 1

$y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$

Công thức tính nhanh chóng đạo hàm: $y’=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2}$

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số sau:
a. $y=\dfrac{2x+3}{4x+2}$
b. $y=\dfrac{-x-2}{2x+5}$

Hướng dẫn:

a. $y=\dfrac{2x+3}{4x+2}$

=> $y’=\dfrac{(2x+3)’.(4x+2)-(2x+3).(4x+2)’}{(4x+2)^2}$

=> $y’=\dfrac{2(2x+2)-(2x+3).4}{(4x+2)^2}$

=> $y’=\dfrac{8x+4-8x-12}{(4x+2)^2}$

=> $y’=\dfrac{-8}{(4x+2)^2}$

Sử dụng công thức tính nhanh chóng đạo hàm:

$y’=\dfrac{2.2-3.4}{(4x+2)^2}$ => $y’=\dfrac{-8}{(4x+2)^2}$

b. $y=\dfrac{-x-2}{2x+5}$

=> $y’=\dfrac{(-x-2)’.(2x+5)-(-x-2)(2x+5)’}{(2x+5)^2}$

=> $y’=\dfrac{-1.(2x+5)-(-x-2).2}{(2x+5)^2}$

=> $y’=\dfrac{-2x-5+2x+4}{(2x+5)^2}$

=> $y’=\dfrac{-1}{(2x+5)^2}$

Sử dụng công thức nhanh chóng tính đạo hàm:

$y= \dfrac{-x-2}{2x+5}$ => $y’=\dfrac{(-1).5-(-2).2}{(2x+5)^2}=\dfrac{-5+4}{(2x+5)^2}=\dfrac{-1}{(2x+5)^2}$

2. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 1

$y=\dfrac{ax^2+bx+c}{dx+e}$

Công thức tính nhanh chóng đạo hàm: $y=\dfrac{adx^2+2aex+be-cd}{(dx+e)^2}$

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số sau:
a. $y=\dfrac{x^2+2x+3}{4x+5}$
b. $y=\dfrac{2x^2+3x-4}{-5x+6}$

Hướng dẫn:

a. $y’=\dfrac{(x^2+2x+3)’.(4x+5)-(x^2+2x+3)(4x+5)’}{(4x+5)^2}$

=> $y’=\dfrac{(2x+2).(4x+5)-(x^2+2x+3).4}{(4x+5)^2}$

Xem thêm: bình phương số phức

=> $y’=\dfrac{8x^2+18x+10-4x^2-8x-12}{(4x+5)^2}$

=> $y’=\dfrac{4x^2+10x-2}{(4x+5)^2}$

Sử dụng công thức giải nhanh chóng đạo hàm:

$y’=\dfrac{1.4x^2+2.1.5x+2.5-3.4}{(4x+5)^2}=\dfrac{4x^2+10x-2}{(4x+5)^2}$

b. $y’=\dfrac{(2x^2+3x-4)’.(-5x+6)-(2x^2+3x-4).(-5x+6)’}{(-5x+6)^2}$

=> $y’=\dfrac{(4x+3).(-5x+6)-(2x^2+3x-4).(-5)}{(-5x+6)^2}$

=> $y’=\dfrac{-20x^2+9x+18-(-10x^2-15x+20)}{(-5x+6)^2}$

=> $y’=\dfrac{-20x^2+9x+18+10x^2+15x-20)}{(-5x+6)^2}$

=> $y’=\dfrac{-10x^2+24x-2}{(-5x+6)^2}$

Sử dụng công thức tính nhanh chóng đạo hàm:

$y’=\dfrac{2.(-5)x^2+2.2.6x+3.6-(-4)(-5)}{(-5x+6)^2}=\dfrac{-10x^2+24x-2}{(-5x+6)^2}$

3. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 2

$y=\dfrac{a_1x^2+b_1x+c_1}{a_2x^2+b_2x+c_2}$

Công thức tính nhanh chóng đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 2

=> $y’=\dfrac{(a_1b_2-a_2b_1)x^2+2(a_1c_2-a_2c_1)x+b_1c_2-b_2c_1}{(a_2x^2+b_2x+c_2)^2}$

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số sau:
a. $y=\dfrac{x^2+x-2}{-x^2+3x+2}$

Ta có:

$y’=\dfrac{(x^2+x-2)’.(-x^2+3x+2)-(x^2+x-2).(-x^2+3x+2)’}{(-x^2+3x+2)^2}$

=> $y’=\dfrac{(2x+1).(-x^2+3x+2)-(x^2+x-2).(-2x+3)}{(-x^2+3x+2)^2}$

=> $y’=\dfrac{-2x^3+6x^2+4x-x^2+3x+2+2x^3-3x^2+2x^2-3x-4x+6}{(-x^2+3x+2)^2}$

=> $y’=\dfrac{4x^2+8}{(-x^2+3x+2)^2}$

Sử dụng công thức tính nhanh chóng đạo hàm:

$y’=\dfrac{[1.3-1.(-1)]x^2+2[1.2-(-2)(-1)]x+[1.2-(-2).3]}{ (-x^2+3x+2)^2 }$

=> $y’=\dfrac{4x^2+8}{(-x^2+3x+2)^2}$

4. Một số tình huống đặc trưng Lúc tính đạo hàm của hàm phân thức

Ví dụ 4: Tính đạo hàm những hàm số sau:
a. $y=\dfrac{2}{x^2-2x+3}$
b. $y=\left(\dfrac{x+2}{3x-1}\right)^3$

Hướng dẫn:

a. $y’=\dfrac{-2.(x^2-2x+3)’}{(x^2-2x+3)^2}=\dfrac{-2(2x-2)}{(x^2-2x+3)^2}$

b. $y’=3.\left(\dfrac{x+2}{3x-1}\right)^2\left(\dfrac{x+2}{3x-1}\right)’= 3.\left(\dfrac{x+2}{3x-1}\right)^2.\dfrac{-7}{(3x-1)^2} $

Xem thêm: vẽ hình thoi

(ý này chúng ta vận dụng công thức đạo hàm $u^{\alpha}=\alpha.u^{\alpha-1}.u’$ nhé)

Bài giảng bên trên cũng tương đối cụ thể và vừa đủ về những dạng toán tính đạo hàm của một trong những hàm phân thức hữu tỉ. Nói bọn chúng nhằm tính được đạo hàm dạng này thì chúng ta chỉ việc dùng công cộng độc nhất một công thức $(\dfrac{u}{v})’$ là rất có thể tính tự do rồi. Nếu chúng ta được thêm công thức tính này hoặc thì nên share bên dưới sườn phản hồi nhé.