Preview text
Dành mang đến SV ngôi trường Đại học tập Bách khoa Hà Nội
Biên soạn: Tài liệu HUST
- ĐỀ CK GIẢI TÍCH
- BỘ ĐỀ THI CUỐI KỲ MÔN GIẢI TÍCH
- ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ............................................................................ DANH SÁCH ĐỀ THI
- ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)............................................................
- ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) ............................................................................
- ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) ............................................................................
- ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1).........................................................
- ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1)
- ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2)
- ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2).........................................................
- ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 2)
- ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3)
- ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3).........................................................
- ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 8 (Nhóm ngành 3)
- ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20192 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
- ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20192 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1).........................................................
- ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
- ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1).........................................................
- ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1)
- ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
- ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1).........................................................
- ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1)
- ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1).........................................................
- ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1)
- ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1).........................................................
- ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1)
- ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1).........................................................
- ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2)
- ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2).........................................................
- ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 2)
- ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3)
- ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3).........................................................
- ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 8 (Nhóm ngành 3)
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)............................................................
Câu 1:
1 lnln(1 ) 0 0
ln(1 )
lim lim.
x x x x x x
Bạn đang xem: đề thi giải tích 1 bách khoa hà nội
x
L e
x
+ → →
+
= =
Xét giới hạn
0 0
ln(1 ) ln(1 )
ln ln 1 1
lim lim
x x
x x
x x
K
→ x → x
+ +
+ −
= =
Vì
0 ln(1 ) lim 1 1 1 0 x x → x + − = − =
, nên
ln(1 ) 0 ln(
~
)
ln 1 1 1
x x x
x x
+ → +
+ − −
.
0 0 2
ln(1 )
1
ln(1 )
lim ( ) lim
x x
x
x x x
K VCB
→ x → x
+
−
+ −
= = =
( ) 2 2 0 2
1
lim 2
x
x o x
→ x
−
+
(Khai triển Maclaurin)
2 0 2
1
2 1
lim
x 2
x
→ x
−
−
= =
Giới hạn tiếp tục mang đến bởi vì L = eK = e− 50%.
b)
3
( , ) 2 6 3 2 , ( , ) 0.
x y
f x nó x y
x y
=
+
+) ChọnM 1 ( a a, 3 ). Khia → 0 thì M 1 ( a a, 3 )→ (0,0). Ta có: ( ) ( ) 3 3 3 1 6 1 , 2 3 5 a a f M f a a a a = = = + ( 1 ) 1 5 f M → khiM 1 → (0, 0) (1) +) ChọnM 2 ( −b b , 3 ). Khib → 0 thì M 2 ( −b b , 3 )→ (0,0). Ta có: ( ) ( ) 3 3 3 2 6
( ) 1
,
2( ) 3 5
b b
f M f b b
b b
− −
= − = =
− +
( 2 ) 1 5 f M − → khiM 2 → (0,0)(2)
Từ (1) và (2) f ( ,x nó )không nằm trong tiến thủ cho tới một độ quý hiếm khi ( ,x nó ) →(0, 0)
3
( x nó, lim) (0,0) 2 6
x y
→ x y
+
không tồn bên trên.
Câu 2. Xét hàm số f ( ,x nó ) = x 2 + nó 2 + 3. Ta có:
2 2 2 2
,
3 3
x ( , ) y( , )
x y
x nó x y
f x nó = f x nó =
+ + + +
. Chọn 0
0
2, 0, 02
3, 0, 04
x x
y y
= =
= =
.
Áp dụng công thức tính ngay sát đúng:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2, 02 3, 04 3 0 , 0 0 , 0 0 , 0 0 , 0
1 3
(2,3) (2,3) 0, 02 (2,3) 0, 04 4 0, 02 0, 04 4, 04
2 4
x y
x y
A f x x nó y f x nó f x nó x f x nó y
f f f
= + + = + + + +
= + + = + + =
Vậy A 4, 04.
Câu 3. Chứng minh:
2 2
cos 1 , 0 cos 1 0, 0
2 2
x x
x − x x + − x .
2
Xét ( ) cos 1 bên trên [0; ).
2
x
f x = x+ − + Ta có:f ( )x sin x x,
= − + f ( )x cos x 1 0, x 0
= − +
f ( )x
đồng trở nên bên trên [0; ) f ( )x f (0) 0, x 0
+ =
f ( )x
đồng trở nên bên trên [0; +) f ( )x f (0) = 0, x 0
Từ bại tao đã có được điều nên chứng tỏ. Dấu bởi vì xẩy ra khi x = 0
Câu 4. Quay miền D là hình bằng phẳng số lượng giới hạn bởi vì các
đường
2
y = x − 3 ,x nó = 0, x = 0, x= 3 xoay quanh trục
Oy thì chiếm được vật thể hoàn toàn có thể tích là:
( ) ( )
3 2
0
V = 2 x x − 3 x d x = 2 x 3 x −x dx(vì
2
x − 3 x 0, x [0,3] )
= ( )
4 3
3 2 3
0
0
2 3 d 2
4
x
x x x x
− = −
27
2
= (đvtt)
Câu 5. Điều kiện: 2 2 2
3
2 3 0 1 0 1 1
2
x − x − x − x = x − , tự đó:
( )
( )
1 1
2 22
3 2
2
2 3 1 d 2 3 1 d
1 1
2 3 d d (2 3) ln 1
1 3
I x x x x x x
x x x x x x C
x
− −
= − + − = − + −
= − + = − + + − +
−
Đặtt = sin x − cos x d t = (cos x + sin x)d x.
2 2 2 1 (sin cos ) 1 2sin cos sin cos. 2 t t x x x x x x − = − = − =
Đổi cận: - Khi x → 0 +thìt → − 1 ; Khi thì 1
2 x t
→ → 1 0 1 1 2 1 2 0 2 d 2 2 d d 1 1 1 2 t L t t t t t − − = = + − − − 0 ( 1) 2 2 2 lim d lim d 1 1 B A A B t t t t = → − + + → − − − 0 ( 1) 1 lim ( 2 arcsin ) lim ( 2 arcsin ) B A A B
- t − t → − → = + ( 1) 1 lim ( 2 arcsin ) lim ( 2 arcsin ) 2 2 2 A B 2 2 A B
+ −
→ − → − = − + = − + =
Giờ xét
/ 0 cot x dx , với f x ( ) = cot x 0 liên tiếp bên trên 0, 2. 0 0 1/
cos 1 1 1
cot ~ ~ ,
sin sin
x x x
x
x x x x
→ + →+
= =
mà
/ 2 0 1/ 2 1 dx x quy tụ (vì / 0 1 (0,1) cot d 2 x x = quy tụ.
Đổi biến
2 2 t x x t
= − = − , tao có:
/2 0 /2 / 0 /2 0 0 cot d cot ( d ) tan d tan d. 2 x x t t t t x x = − − = = /2 / 0 0 1 1 cot d ( tan cot )d. 2 2 x x x x x L = + = =
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) ............................................................................
Câu 1 (2 điểm). Tìm những số lượng giới hạn sau:
a)
1 0
1
lim
x x x
e
→ x
−
.
b)
4
( , lim) (0,0) 2
x nó 4 3
xy
→ x + y
Câu 2 (1 điểm). Tính sấp xỉ nhờ vi phân A = 4,03 2 + 2,02 2 + 5.
Câu 3 (1 điểm). Chứng minh rằng
2 1 , 0 2 x x e + x + x .
Câu 4 (1 điểm). Tính thể tích khối tròn trĩnh xoay khi cù hình số lượng giới hạn bởi vì những đàng nó = x 2 − 4 x
và nó = 0 xung quanh trục Oy một vòng.
Câu 5 (1 điểm). Tính
1 4 3 x 1 x 2 2 dx − − − + − .
Câu 6 (1 điểm). Hàm số f ( )x = x 5 + xcó hàm ngược là nó = g x ( ). Tínhg (2).
Câu 7 (1 điểm). Tính
2 2 2 2
z z 5 z
P
x nó y y
= + +
với
( ) 2 2 5
1
z
x y
=
+
.
Câu 8 (1 điểm). Không khí được bơm vào một trong những trái khoáy bóng cất cánh hình cầu với tốe chừng 200 centimet / s 3.
Tính vận tốc tạo thêm của nửa đường kính trái khoáy bóng khi nửa đường kính trái khoáy bóng bởi vì 60 centimet.
Câu 9 (1 diểm). Tính 2
0 tan x dx .
Cách giải xem thêm đề số 1
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) ............................................................................
Câu 1.
1 1 lim lim 1 x sin x cos cos x x x → → −
= = = −. (dạng vô toan nên tao người sử dụng L’Hospital)
Vậy lim 1
x sin x x
→ −
= −.
b) Đặt
2 2 2
2 ln
( , )
( 1)
y x
f x y
x y
=
− +
+) Nếu x = 1 và nó → 0 thì 2 2 2
2 ln
( , ) 0 0
0
y
f x y
y
= = →
+
khi nó → 0. (1)
+) Nếu x 1 và ( ,x nó ) → (1, 0)thì: 2 2 ( , ) (1,0) 2 2 ( , ) (1,0) ( , ) (1,0) 2 1 1 1 2 ln ln 2 ( 1) lim lim lim x nó ( 1) x nó 1 x nó ( 1) x x x y x x nó x → x nó → x → x y − = − + − − +
Ta có:
VCB ( , ) (1,0) 1 1 ln ln 1 lim lim lim 1 x nó 1 x 1 x 1 x x x → x → x → x − = = = − − − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) 2 | ( 1) | ( 1) 0 | | | | | | ( 1) ( 1) ( 1) y x x nó x y y nó y x nó x nó x y − − − + = = − + − + − +
, mà
( , ) (1,0) lim | | 0 x y y → = 2 ( , ) (1,0) 2 1
2 ( 1)
lim 0
x nó ( 1)
x
y x
→ x y
−
=
− +
theo nguyên tắc kẹp
2 ( , ) (1,0) 2 1 2 ( 1) lim 0 xx nó ( 1) y x → x y − = + 2 ( , ) (1,0) 2 2 ln lim 1 0 xx nó ( 1) y x → x y = = − +
(2)
Tù̀ (1) và (2)
2 ( , ) (1,0) 2
2 ln
lim 0
x nó ( 1)
y x
→ x y
=
− +
Câu 2.
+) Với x = 1 thì
5 5 1 + 3 nó + nó − 5 = 0 nó + 3 nó = 4 nó = 1 y(1) = 1.
Theo bài xích ra:
3 2 5 x + 3 x nó x( ) + [ ( )]y x − 5 = 0 +) Lấy đạo hàm nhì vế theo đòi x , tao có: 2 2 4 3 x 6 xy x( ) 3 x nó ( )x 5 nó ( )[ ( )]x nó x 0
- =
Thay x = 1 , tao có: 4 3 6 (1)y 3 nó (1) 5 nó (1)[ (1)]y 0 3 6 3 nó (1) 5 nó (1) 0 ( tự y(1) 1)
- = + + + = = (1) 9 8 y − =
Vậy
9 (1) 8 y − =
Cách giải khác: Đặt
3 2 5 F x nó ( , ) = x + 3 x nó + nó − 5.
Ta có:
( ) 2 2 4 ( , ) 3 ( ). ( , ) 3 5 x y F x nó x xy y x F x nó x y − − + = = +
(*)
Với x = 1 thì 5 5 1 + 3 nó + nó − 5 = 0 nó + 3 nó = 4 nó = 1 y(1) = 1.
Thayx = 1, y= 1 nhập (*), tao có:
(3 6) 9 (1) 3 5 8 y − + − = = +
.
Câu 3.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 ( 2 ) 2
1 1 2 1
, 1
2 2 1 1 1
1
1
x x x x
x x x
y x
x x x x x
x x
− − − +
− − +
= = = =
+ + + +
+
− −
.
Vậy 2
2 , 1 1 y x x = +
.
Câu 4. Ta sở hữu khai triển Maclaurin: ( ) 2 3 3 ln(1 ) 2 3 x x
- x = x − + + o x. Khi x → 0 thì 2 x → 0 , thay cho x bởi vì 2 x , tao sở hữu khai triển Maclaurin của nó cho tới cung cấp 3 là: ( ) ( ) 2 3 (2 ) (2 ) 3 2 83 ln(1 2 ) 2 (2 ) 2 2 2 3 3 x x y = + x = x − + + o x = x − x + x +o x
Vậy khai triển cần thiết dò la là 2 3 ( 3 )
8 2 2 3
y = x − x + x + o x.
Câu 5.
+) Tập xác lập D=
Đồ thị hàm số không tồn tại tiệm cận đứng.
+) Khix → + : L Hospital 1 lim lim lim 0 x x x 1 x x x y e e →+ →+ →+ = = = +
(Dạng vô định)
y= 0 là tiệm cận ngang phía bên phải của vật dụng thị hàm số.
2 2
1 | 1| 7 2 1 ln 3 7
lim ln arctan
A 26 1 13 3 3 1378
A A
A A
→+
+ −
= + − +
− +
1 7 ln 3 7 14 ln 3 ln 26 13 3 2 13 78 3 39 3 13 = + − + = −
Vậy tích phân suy rộng lớn cần thiết tính bằng
14 ln 3. 39 3 13 −
Xem thêm: đề thi môn xác suất thống kê
Câu 7.
3 2 3 2
3 2 3 24
2 2
x y
x y
+ = + =
Tham số hoá đàng cong:
3 3 ( ) 8cos (0 2 ) ( ) 8sin x t t t y t t
= = Do tính đối xứng qua loa trục Ox và trục Oy , diện tích S vật thể cần thiết tính bởi vì gấp đôi diện tích S vật
thể chiếm được, khi cù phần ứng với 0
2 t
xung quanh trục Ox.
Diện tícch cần thiết tính là:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) /2 2 2 /2 3 2 2 2 2 0 0 /2 3 2 2 2 2 /2 4 0 0 / /2 4 0 0 '
2 2 | ( ) | ( ) ( ) d 4 8sin 24sin cos 24 cos sin d
768 sin sin cos cos sin d 768 sin cos d
768 768
768 sin d(cos ) sin (dvdt)
5 5
y t x t nó t t t t t t t t
t t t t t t t t t
t t t
= + = − +
= + =
= = =
Vậy diện tích S cần thiết tính là
768 5
(dvdt).
Câu 8.
Tập xác định: D = 2
Tìm điểm dừng:
2 2 2 2 2 2 { 0 3 2( ) 0 3 0 4 3 2( ) 0 3 2 2 { 3 3 4 0 x y x y x y z x x nó nó x x z nó x nó x x nó x nó x y x x = − = = = − + = = = = − + = − − = = = = − = hàm số sở hữu 2 trạm dừng là 1 4 4 , 3 3 M vàM 2 (0, 0).
+) Ta có: A z xx 6 x 2, B zxy 2, C z yy 6 nó 2 = = − = = − = = − 2 = B − AC = 4 − (6 x − 2)(6 y−2).
- Tại điểm 1
4 4 , 3 3 M , tao sở hữu = − 32 0 và A = 6 0 z x nó ( , )đạt rất rất đái bên trên 1 CT ( 1 ) 64 (1,1), 27
M z z M
−
= =.
- Tại điểmM 2 (0, 0).
Xét
3 3 2 z = z (0 + x ,0 + y ) − f (0,0) = ( x ) + ( nó ) − + ( x y) Khix = −y → 0 tao có: =z 0 , điều này triệu chứng tỏz M ( 2 ) = z M( 3 ), với M 3 ( x , −y )thuộc phụ cận của M 2 hàm số ko đạt rất rất trị bên trên M 2
Vậy hàm số đạt rất rất trị độc nhất bên trên một điểm là 1
4 4 , 3 3 M
(cực tiểu), độ quý hiếm rất rất đái là
CT ( 1 ) 64 27 z z M −
= =.
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1).........................................................
Câu 1 (1 điểm). Tìm số lượng giới hạn 2
0 2 1 lim x → e x 1 x − −
.
Câu 2 (1 điểm). Cho hàm số nó = f ( )x xác lập bởi
3 2 2 34 x t t y t t = + = +
. Tính f ( ),x f ( )x.
Câu 3 (1 điểm). Tìm rất rất trị của hàm số nó = 3 x x( − 3) 2.
Câu 4 (1 điểm). Chứng minh rằng vói từng x 0 , tao có 2 2 ln 1 x 2 x + +
.
Câu 5 (1 điểm). Tìm giới hạn
6 6 6 7 1 2 lim n n → n + ++
.
Câu 6 (2 điểm). Tính những tích phân sau:
a)
sin 3 sin cos xdx x + x .
b)
3 2 arccot 3 −x dx.
Câu 7 (1 điểm). Tính tích phân suy rộng
( ) 1 4 d 3 2 x x x + − .
Câu 8 (1 điểm). Tính diện tích S mặt mày tròn trĩnh xoay tạo nên bởi vì đàng tròn trĩnh x 2 + ( y− 2) 2 = 1 xung quanh trục Ox
.
Câu 9 (1 điểm). Cho hàm số:
3 arctan 3 , 0 ( ) x sin , 0 x x x f x ae b x x = + Tìm a và b nhằm hàm số f ( )x khả vi bên trên x = 0.
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1)
Câu 1.
( ) 2 0 2 0 2 2 1 2 1 lim lim 1 x x x x x x e L → e x → e x − + = − = − − Dùng VCB: ( ) 2 0 1 ~ 2 x x e x →
− mang đến khuôn mẫu số, tao có:
VCB 2 0 2 1 lim 2 x x x e L → x x − + =
(dạng
0 0
)
2 0 2 2 lim 4 L Hospital x x e x → − = (dạng 0 0
)
Hospital 2 0 4 4 lim 1. 4 4 L x x e e → − − = = = − Vậy số lượng giới hạn cần thiết tính bằng− 1.
Cách giải 2: Dùng khai triển Maclaurin:
( ) ( ) 2 0 2
2 1
lim
1
x x x
x e
L
→ e x
− −
=
−
=
( ) 2 2 0
(2 )
2 2
2!
lim
x 2
x
x x o x
→ x x
− + +
(Khai triển Maclaurin)
( ) 2 2 0 2 0 2
2
lim lim 1.
x 2 x 2
x o x x
→ x → x
− − −
= = = −
Câu 2.
Ta sở hữu công thức: Với
( ) ( ) x x t y nó t = =
Xác toan hàm nó = f ( )x
3
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) và ( ).
( ) ( )
y t nó t x t nó t x t
f x f x
x t x t
−
= =
Áp dụng công thức bên trên tao có:
3 2
d ( ) 4 12
( ) 4.
d ( ) 1 3
y nó t t t
f x t
x x t t
+
= = = =
+
2 2 2 2
d d d d 1 d 1 4
( ) (4 ) (4 ) 4.
d d d ( )d ( ) d 1 3 1 3
y y
f x t t
x x x x t t x t t t t
= = = = = =
+ +
Câu 3.
+) Tập xác định: D=.
Từ bảng trở nên thiên, suy ra: f ( )x 0, x 0
2 2
ln 1 0, 0
2
x
x x
+ −
+
2 2
ln 1 , 0
2
x
x x
+
+
(đpcm)
Câu 5.
6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 6 6 1
1 2 1 1 2 1 1 2
lim lim lim
1
lim
n n n n n k
n n n
L
n n n n n n n
k
n n
→ → → → =
+ ++ + ++
= = = + ++
=
1 0 = f ( )d ,x x nhập bại f ( )x = x 6 hàm liên tiếp, khả tích bên trên [0,1]. 71 1 0 0
1
d.
7 7
x
= x x= =
Vậy số lượng giới hạn cần thiết tính bằng
1 7
.
Câu 6.
Giải: sin cos 2 sin
4
x x x
+ = +
. Đặt d d
4 4
t x x t x t
= + = − = . Tích phân cần thiết tính trở
thành:
3 3
1 1
sin sin cos
4 2
d d
2 sin 2 sin
t t t
I t t
t t
− −
= = 3 2 2 3 3
1 sin 3sin cos 3sin cos cos d 1 sin 2 3sin cos 3cos 2 cos d
4 sin 4 sin
t t t t t t t
t t t t t t
t t
− + −
= = − + −
( )
1 1 1 cos 2 3 sin 2 3 3 cos 2 cos 1 sin 2 d
4 2 2 2 2 2 sin
t
t t t t t
t
= − − + + − −
1 3 cos
2 cos 2 sin 2 cos sin d
4 2 sin
t
t t t t t
t
= + − − +
1 cos 1 1 1
2 cos 2 sin 2 d 2 sin 2 cos 2 ln | sin |
4 sin 2 2 2 2
t
t t t t t t t C
t
= + − − = + + − +
4
Thay t x
= +
sin 3 1 1 2 sin 2 cos 2 ln sin sin cos 4 2 2 2 2 2 4 xdx x x x x C x x
= + + + + + − + + + 1
cos(2 ) sin(2 ) 1 ln sin
2 8 4 4
x x x
x C
−
= + − + +
b) Xét vẹn toàn hàm
arccot 3 − x d x = arccot 3 − x d( x−4) = ( x − 4)arccot 3 − x − ( x − 4) d(arccot 3 −x) 2 1 1 ( 4) arccot 3 ( 4) d 1 ( 3 ) 2 3 x x x x x x − − = − − − − + − − 1 ( 4) arccot 3 d ( 4) arccot 3 3. 2 3 x x x x x x C x − = − − − = − − − − + − 3 3 2 arccot 3 d [( 4) arccot 3 3 ] 1 1 2 2 x x x x x − − − = − − − − = − − =
Câu 7.
( ) 4 1 ( ) 3 2 f x x x = −
là hàm dương và liên tiếp bên trên [1, +).
( ) 1 4 d 3 2 x x x + − là tích phần suy rộng lớn loại 1 với điểm không bình thường + ( ) 4 4 5 1 1 1 ~ 3 2 3 3 x x x x x x →+ = −
, tuy nhiên 5
1 1 d 3 x x + quy tụ (do = 5 1) ( ) 1 4 d 3 2 x x x + −
hội tụ theo đòi chi chuẩn chỉnh đối chiếu.
Câu 8. Tham số hoá đàng tròn
2 2 x + ( y− 2) =1:
Xem thêm: đường trung bình hình thang
cos
(0 2 )
2 sin
x t
t
y t
=
= +
.
Diện tích mặt mày tròn trĩnh xoay tạo nên bởi vì đàng tròn
2 2 x + ( y− 2) = 1 xung quanh trục Ox là: ( ) ( ) 2 2 2 22 0 0
2 | ( ) |y t x t( ) nó t( ) d t 2 |2 sin t | ( sin )t (cos ) dt t
= + = + − +
Bình luận