Tóm tắt một số kiến thức về giải tích vector (P1)

1. Vector :

1.1. Định nghĩa:

Vector, ở đó là vector hình học tập nhập không khí Euclide, là 1 đối tượng người tiêu dùng hình học tập với phương, chiều và phỏng lớn. Ta trình diễn vector bởi một mũi thương hiệu với gốc là gốc của vector, đầu mũi thương hiệu là đầu mút của vector, phỏng lâu năm là sự cân đối của vector và phía kể từ gốc cho tới đầu mút là vị trí hướng của vector.

Vd: vector $\vec{a} = \vec{AB}$

vector

-Độ rộng lớn của vector $\vec{a}$ là $|\vec{a}|$ .

-Vector đơn vị chức năng là vector có tính rộng lớn bởi 1.

– Một vector $\vec{a}$ nhân với một vài vô phía k mang lại tao một vector có tính rộng lớn $|k||\vec{a}|$ , với phương nằm trong phương với $\vec{a}$ và chiều tùy nằm trong nhập vệt của k. Vector này đó là vector $k\vec{a}$ .

-Để nằm trong 2 vector, tao dùng quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc tam giác như sau:

1.2. Biểu thao diễn vector nhập hệ trục tọa phỏng Descartes:

Một vector $\vec{a} = \vec{AB}$ với những điểm $A(x_{A};y_{A};z_{A})$ và $B(x_{B};y_{B};z_{B})$ thì được trình diễn nhập hệ trục tọa phỏng Descartes bởi cỗ số:

$(x;y;z) = (x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A};z_{B}-z_{A})$ .

Ta khái niệm 3 vector đơn vị chức năng $\vec{i} ; \vec{j}; \vec{k}$ ứng với 3 trục tọa phỏng Ox, Oy, Oz. Khi bại, vector $\vec{a}$ được trình diễn bên dưới dạng:

$\vec{a}=x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ .

1.3. Tích vô phía và tích hữu phía nhị vector:

1.3.1. Tích vô hướng: (Dot Product)

Ở phía trên, tất cả chúng ta chỉ nói đến định nghĩa tích của 2 vector hình học tập 3 chiều.

Tích vô vị trí hướng của 2 vector $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , phù hợp với nhau góc $\theta$ là một vài vô hướng:

$\vec{a}.\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ .

Trong tọa phỏng Descartes, tao hoàn toàn có thể tính tích vô vị trí hướng của 2 vector $\vec{a} =(x_{a};y_{a};z_{a})$ và $\vec{b}=(x_{b};y_{b};z_{b})$ như sau:

$\vec{a}.\vec{b} = x_{a}x_{b}+y_{a}y_{b}+z_{a}z_{b}$ .

1.3.2. Tích hữu hướng: (Cross Product)

Khác với tích vô phía, tích hữu vị trí hướng của 2 vector $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , phù hợp với nhau góc $\theta$ là một vector $\vec{c}$ có sự cân đối :

Xem thêm: công thức số mũ

$|\vec{c}|=|\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$

và với phương vuông góc với 2 vector bên trên, chiều xác lập bởi quy tắc vặn nút chai.

Trong tọa phỏng Descartes, tao hoàn toàn có thể tính tích hữu vị trí hướng của 2 vector $\vec{a} =(x_{a};y_{a};z_{a})$ và $\vec{b}=(x_{b};y_{b};z_{b})$ như sau:

$\vec{c}=[\vec{a}\times\vec{b}]=\begin{vmatrix}\vec{i} &\vec{j}&\vec{k}\\x_{a}&y_{a}& z_{a}\\x_{b}&y_{b}&z_{b}\end{vmatrix}$

1.4 Một số đặc thù của tích vô phía và tích hữu hướng:

1.4.1. Sở vector đơn vị:

Bộ 3 vector đơn vị $\vec{i} ; \vec{j}; \vec{k}$ nhập hệ tọa phỏng Descartes vừa lòng những hệ thức sau:

$\vec{i}.\vec{i}=\vec{j}.\vec{j}=\vec{k}.\vec{k}=1$ (chuẩn hóa)

$\vec{i}.\vec{j}=\vec{j}.\vec{k}=\vec{k}.\vec{i}=0$ (trực giao)

$\vec{i}\times\vec{i}=\vec{j}\times\vec{j}=\vec{k}\times\vec{k}=0$

$\vec{i}\times\vec{j}=\vec{k}$

$\vec{j}\times\vec{k}=\vec{i}$

$\vec{k}\times\vec{i}=\vec{j}$

1.4.2 So sánh tích vô phía và tích hữu hướng:

	Tích vô hướng	Tích hữu hướng
Định nghĩa	Là một vài vô hướng	Là một vector
Giao hoán	$\vec{a}.\vec{b}=\vec{b}.\vec{a}$ (có tính kí thác hoán)	$\vec{a}\times\vec{b}=- \vec{b}\times\vec{a}$ (có tính phản kí thác hoán)
Phân phối với vô hướng	$(n\vec{a}).\vec{b}=n.\vec{a}.\vec{b}$	$(n\vec{a})\times\vec{b}=n.\vec{a}\times\vec{b}$
Kết phù hợp với +	$(\vec{a}+\vec{b}).\vec{c}=\vec{a}.\vec{c}+\vec{b}.\vec{c}$	$(\vec{a}+\vec{b})\times\vec{c}=\vec{a}\times\vec{c}+\vec{b}\times\vec{c}$
$\vec{a}\parallel\vec{b}$	$\vec{a}.\vec{b}=ab$	$\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}$
$\vec{a}\perp\vec{b}$	$\vec{a}.\vec{b}=0$	$\|\vec{a}\times\vec{b}\|=ab$
$\vec{a}=\vec{b}$	$\vec{a}.\vec{a}=a^2$	$\vec{a}\times\vec{a}=\vec{0}$

1.4.3 Các tích láo hợp:

Tích tía với hướng:

a) Đẳng thức Jacobi:

$\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})+\vec{b}\times(\vec{c}\times\vec{a})+\vec{c}\times(\vec{a}\times\vec{b})=\vec{0}$

b) Đẳng thức Lagrange:

$\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{b}.(\vec{a}.\vec{c})-\vec{c}.(\vec{a}.\vec{b})$

Tích tía vô hướng:

Xem thêm: đề thi học sinh giỏi sử 8

$\vec{a}.(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{b}.(\vec{c}\times\vec{a})=\vec{c}.(\vec{a}\times\vec{b})=\begin{vmatrix}x_{a} &y_{a}&z_{a}\\x_{b}&y_{b}& z_{b}\\x_{c}&y_{c}&z_{c}\end{vmatrix}$