Hệ tọa độ

Bách khoa toàn thư ngỏ Wikipedia

Trong hình học tập, hệ tọa độ là 1 khối hệ thống dùng một hoặc nhiều số, hay còn gọi là những tọa độ, nhằm xác lập có một không hai địa điểm của những điểm hoặc những thành phần hình học tập không giống bên trên một nhiều tạp, ví dụ như không khí Euclide .^[1]^[2] Thứ tự động của những tọa phỏng là rất rất cần thiết và bọn chúng thỉnh thoảng được xác lập bởi vì địa điểm của bọn chúng vô một cỗ tài liệu sở hữu trật tự và thỉnh thoảng bởi vì một vần âm, như vô "trục x". Các tọa phỏng được xem như là số thực vô toán học tập sơ cung cấp, tuy nhiên rất có thể là số phức hoặc những thành phần của một hệ trừu tượng hơn hẳn như là một đai phó hoán . Việc dùng một hệ tọa phỏng được chấp nhận những việc vô hình học tập được fake trở nên những việc về số và ngược lại; đó là hạ tầng của hình học tập giải tích .^[3]

Các hệ tọa phỏng thông thường[sửa | sửa mã nguồn]

Trục số[sửa | sửa mã nguồn]

Ví dụ đơn giản và giản dị nhất của hệ tọa phỏng là sự xác lập những điểm bên trên một lối với những số thực bằng phương pháp dùng trục số . Trong khối hệ thống này, một điểm tùy ý O (điểm gốc ) được lựa chọn bên trên một đường thẳng liền mạch mang lại trước. Tọa phỏng của một điểm P được khái niệm là khoảng cách sở hữu lốt kể từ O cho tới P, vô cơ khoảng cách sở hữu lốt là khoảng cách được xem như là dương hoặc âm tùy nằm trong vô phía này của đoạn trực tiếp P ở. Mỗi điểm được cho 1 tọa phỏng có một không hai và từng số thực là tọa phỏng của một điểm có một không hai.^[4]

Hệ tọa phỏng Descartes[sửa | sửa mã nguồn]

Hệ tọa phỏng Descartes vô mặt mày phẳng phiu.

Ví dụ nguyên vẹn hình mẫu của một hệ tọa phỏng là hệ tọa phỏng Descartes. Trong mặt mày phẳng phiu, hai tuyến đường trực tiếp vuông góc được lựa chọn và tọa phỏng của một điểm được lấy thực hiện khoảng cách cho tới những đường thẳng liền mạch bên trên. Trong không khí tía chiều, tía mặt mày phẳng phiu trực phó cho nhau được lựa chọn và tía tọa phỏng của một điểm là khoảng cách sở hữu lốt cho tới từng mặt mày phẳng phiu.^[5] Vấn đề này rất có thể được tổng quát lác muốn tạo rời khỏi n tọa phỏng mang lại ngẫu nhiên điểm này vô không khí Euclid n chiều.

Tùy nằm trong vô phía và trật tự của những trục tọa phỏng, khối hệ thống tía chiều rất có thể là 1 khối hệ thống thuận tay cần hoặc một khối hệ thống thuận tay trái khoáy. Đây là 1 trong không ít hệ tọa phỏng.

Hệ tọa phỏng cực[sửa | sửa mã nguồn]

Một hệ tọa phỏng thông dụng không giống mang lại mặt mày phẳng phiu là hệ tọa phỏng cực .^[6] Một điểm được lựa chọn thực hiện cực và một tia kể từ đặc điểm này được lấy thực hiện trục cực . Đối với cùng 1 góc θ mang lại trước, sở hữu một đường thẳng liền mạch qua quýt rất rất sở hữu góc với trục cực kì θ (đo trái chiều kim đồng hồ đeo tay kể từ trục cho tới lối thẳng). Khi cơ, sở hữu một điểm có một không hai bên trên đường thẳng liền mạch này còn có khoảng cách sở hữu lốt kể từ điểm gốc là r so với số r đang được cho . Đối với cùng 1 cặp tọa phỏng đang được mang lại (r , θ) sở hữu một điểm có một không hai, tuy nhiên một điểm ngẫu nhiên được màn trình diễn bởi vì nhiều cặp tọa phỏng. Ví dụ, (r , θ), (r , θ+2π) và (-r , θ+π) là những tọa phỏng rất rất của và một điểm. Cực được màn trình diễn bởi vì (0, θ) với ngẫu nhiên độ quý hiếm này của θ.

Hệ tọa phỏng trụ và cầu[sửa | sửa mã nguồn]

Có nhì cách thức thông dụng nhằm không ngừng mở rộng hệ tọa phỏng rất rất trở nên tía chiều. Trong hệ tọa độ trụ, một tọa độ z sở hữu nằm trong chân thành và ý nghĩa như vô tọa phỏng Descartes được thêm nữa tọa phỏng rất rất r và θ dẫn đến một cỗ tía (r, θ, z ).^[7] Hệ tọa phỏng cầu tiến bộ thêm 1 bước nữa bằng phương pháp quy đổi cặp tọa phỏng trụ ( r , z ) quý phái tọa phỏng rất rất ( ρ , φ ) cho 1 cỗ tía ( ρ , θ , φ ).^[8]

Hệ tọa phỏng đồng nhất[sửa | sửa mã nguồn]

Một điểm vô mặt mày phẳng phiu rất có thể được màn trình diễn vô các tọa phỏng đồng nhất bởi vì một cỗ tía ( x , y , z ) vô cơ x/z và y/z là tọa phỏng Descartes của điểm.^[9] Vấn đề này trình làng một tọa phỏng "bổ sung" vì như thế chỉ việc nhì tọa phỏng nhằm xác lập một điểm bên trên mặt mày phẳng phiu, tuy nhiên khối hệ thống này hữu ích tại vị trí nó đại diện thay mặt mang lại ngẫu nhiên điểm này bên trên mặt mày phẳng phiu xạ hình họa nhưng mà ko cần dùng vô rất rất . Nói cộng đồng, một hệ tọa phỏng thuần nhất là 1 vô cơ chỉ những tỷ trọng của những tọa phỏng là ý nghĩa chứ không hề cần những độ quý hiếm thực.

Các hệ tọa phỏng thông thường được dùng khác[sửa | sửa mã nguồn]

Một số hệ tọa phỏng thông dụng không giống là:

Tọa phỏng lối cong là 1 tổng quát lác của những hệ tọa phỏng phát biểu chung; khối hệ thống dựa vào phó điểm của những lối cong.
- Tọa phỏng trực giao : những mặt mày tọa phỏng vuông góc với nhau
- Tọa phỏng xiên : những mặt phẳng tọa phỏng ko trực giao
Hệ tọa phỏng rất rất log màn trình diễn một điểm vô mặt mày phẳng phiu bởi vì logarit của khoảng cách kể từ gốc tọa phỏng và một góc được đo từ 1 lối tham ô chiếu rời điểm gốc.
Tọa phỏng plücker là 1 cơ hội màn trình diễn những lối vô không khí Euclid 3 chiều bằng phương pháp dùng sáu cỗ số thực hiện tọa phỏng giống hệt .
Tọa phỏng tổng quát lác được dùng vô xử lý cơ học tập Lagrange .
Tọa phỏng hình nón được dùng vô xử lý cơ học tập Hamilton .
Hệ tọa phỏng trung tâm như được dùng mang lại vật dụng thị bậc tía và phát biểu cộng đồng rộng lớn vô phân tách tam giác .
Tọa phỏng tam giác được dùng vô văn cảnh của hình tam giác.

Có vô số cách tế bào mô tả lối cong không tồn tại tọa phỏng, dùng phương trình nội bên trên dùng những đại lượng không bao giờ thay đổi như phỏng cong và phỏng lâu năm cung . Bao bao gồm những hệ tọa phỏng sau:

Phương trình Whewell tương tác phỏng lâu năm cung và góc tiếp tuyến .
Phương trình Cesàro tương quan cho tới phỏng lâu năm và phỏng cong của cung.

Tọa phỏng của những đối tượng người tiêu dùng hình học[sửa | sửa mã nguồn]

Hệ tọa phỏng thông thường được dùng nhằm xác xác định trí của một điểm, tuy nhiên bọn chúng cũng rất có thể được dùng nhằm chỉ xác định trí của những hình phức tạp hơn hẳn như là đường thẳng liền mạch, mặt mày phẳng phiu, hình trụ hoặc hình cầu. Ví dụ, tọa phỏng Plücker được dùng nhằm xác xác định trí của một lối vô không khí.^[10] Khi mong muốn, mô hình được tế bào mô tả được dùng nhằm phân biệt loại hệ tọa phỏng, ví dụ, thuật ngữ tọa phỏng đường được dùng mang lại ngẫu nhiên hệ tọa phỏng này xác xác định trí của lối.

Có thể xẩy ra rằng những hệ tọa phỏng mang lại nhì giao hội những hình hình học tập không giống nhau là tương tự nhau về mặt mày phân tách của bọn chúng. Một ví dụ về điều này là khối hệ thống tọa phỏng thuần nhất cho những điểm và lối vô mặt mày phẳng phiu xạ hình họa. Hai khối hệ thống vô một tình huống như vậy này được cho rằng nhị nguyên . Hệ thống nhị nguyên vẹn sở hữu đặc điểm là những thành phẩm kể từ khối hệ thống này rất có thể được fake quý phái khối hệ thống không giống vì như thế những thành phẩm này đơn thuần những cơ hội lý giải không giống nhau của và một thành phẩm phân tích; phía trên được gọi là nguyên tắc đối ngẫu .^[11]

Xem thêm: diên tích hình tròn

Chuyển đổi[sửa | sửa mã nguồn]

Bởi vì như thế thông thường có không ít hệ tọa phỏng rất có thể không giống nhau nhằm tế bào mô tả những hình hình học tập, điều cần thiết là cần hiểu bọn chúng sở hữu tương quan ra sao. Các quan hệ như thế được tế bào mô tả bởi vì những phép đổi khác tọa độ thể hiện công thức mang lại tọa phỏng vô một khối hệ thống bên dưới dạng tọa phỏng vô một khối hệ thống không giống. Ví dụ, vô mặt mày phẳng phiu, nếu như tọa phỏng Descartes (x , y) và tọa phỏng rất rất (r , θ) sở hữu nằm trong gốc tọa phỏng và trục cực kì trục x dương, Lúc cơ phép tắc đổi khác tọa phỏng kể từ rất rất quý phái tọa phỏng Descartes được mang lại bởi vì x = r cosθ và y = r sinθ .

Với từng tuy vậy ánh kể từ không khí cho tới chủ yếu nó, nhì hệ tọa phỏng rất có thể được links với nhau:

sao mang lại tọa phỏng mới mẻ của hình họa của từng điểm kiểu như với tọa phỏng cũ của điểm gốc (công thức của ánh xạ là nghịch ngợm hòn đảo của công thức so với phép tắc đổi khác tọa độ)
sao mang lại tọa phỏng cũ của hình họa của từng điểm kiểu như với tọa phỏng mới mẻ của điểm gốc (công thức của ánh xạ cũng tương tự công thức của phép tắc đổi khác tọa độ)

Ví dụ, vô trục số 1D, nếu như ánh xạ là 1 phép tắc tịnh tiến bộ kể từ 3 quý phái cần, thì ánh xạ trước tiên dịch chuyển điểm gốc kể từ 0 cho tới 3, nhằm tọa phỏng của từng điểm trở thành nhỏ rộng lớn 3, trong những khi ánh xạ loại nhì dịch chuyển điểm gốc kể từ 0 cho tới −3, nhằm tọa phỏng của từng điểm gia tăng 3 nữa.

Đường/đường cong và mặt mày phẳng/bề mặt mày tọa độ[sửa | sửa mã nguồn]

Trong không khí hai phía, nếu như một trong số tọa phỏng vô hệ tọa phỏng điểm được lưu giữ ko thay đổi và tọa phỏng không giống được phép tắc thay cho thay đổi, thì lối cong thành phẩm được gọi là đường cong tọa độ . Trong hệ tọa phỏng Descartes, những lối cong tọa phỏng bên trên thực tiễn là những đường thẳng liền mạch, vì thế nó được gọi là các trục tọa độ. Cụ thể, bọn chúng là những lối tuy vậy song với cùng 1 trong số trục tọa phỏng. Đối với những hệ tọa phỏng không giống, lối cong tọa phỏng rất có thể là lối cong tổng quát lác. Ví dụ, những lối cong tọa phỏng vô tọa phỏng rất rất chiếm được bằng phương pháp lưu giữ r ko thay đổi là những lối tròn trặn sở hữu tâm bên trên gốc tọa phỏng. Hệ tọa phỏng nhưng mà một vài lối cong tọa phỏng ko cần là lối được gọi là hệ tọa phỏng cong .^[12] Quy trình này sẽ không cần khi này cũng có thể có chân thành và ý nghĩa, ví dụ điển hình không tồn tại lối cong tọa phỏng này vô một hệ tọa phỏng giống hệt .

Trong không khí tía chiều, nếu như một tọa phỏng được lưu giữ ko thay đổi và nhì tọa phỏng còn sót lại được phép tắc thay cho thay đổi, thì mặt phẳng tạo ra trở nên được gọi là mặt tọa độ . Ví dụ, những mặt mày tọa phỏng có được bằng phương pháp lưu giữ ρ ko thay đổi vô hệ tọa phỏng cầu là những mặt mày cầu sở hữu tâm bên trên gốc tọa phỏng . Trong không khí tía chiều phó của nhì mặt mày tọa phỏng là 1 lối cong tọa phỏng. Trong hệ tọa phỏng Descartes, tất cả chúng ta nói theo cách khác về những mặt phẳng phiu tọa độ .

Tương tự động, siêu mặt phẳng tọa độ là không khí (n − 1) chiều vì thế cố định và thắt chặt một tọa phỏng có một không hai của hệ tọa phỏng n chiều.^[13]

Bản vật dụng tọa độ[sửa | sửa mã nguồn]

Khái niệm về bản vật dụng tọa độ, hoặc biểu vật dụng tọa độ là trọng tâm của lý thuyết về nhiều tạp. Bản vật dụng tọa phỏng về thực chất là 1 hệ tọa phỏng cho 1 luyện con cái của một không khí chắc chắn với đặc điểm là từng điểm sở hữu chính một luyện tọa phỏng. Chính xác rộng lớn, một bạn dạng vật dụng tọa phỏng là 1 phép tắc đồng phôi từ 1 luyện con cái ngỏ của không khí X cho tới luyện con cái ngỏ của Rⁿ .^[14] Thông thông thường tất cả chúng ta ko thể cung ứng một hệ tọa phỏng nhất quán mang lại toàn cỗ không khí. Trong tình huống này, một giao hội những bạn dạng vật dụng tọa phỏng được ghép lại cùng nhau muốn tạo trở nên một atlas bao quấn không khí. Một không khí được chuẩn bị một luyện bạn dạng vật dụng như thế được gọi là 1 đa tạp và cấu tạo bổ sung cập nhật rất có thể được xác lập bên trên một nhiều tạp nếu như cấu tạo nhất quán điểm những bạn dạng vật dụng tọa phỏng ông chồng lên nhau. Ví dụ, một nhiều tạp khả vi là 1 nhiều tạp vô cơ sự thay cho thay đổi tọa phỏng kể từ bạn dạng vật dụng tọa phỏng này quý phái bạn dạng vật dụng tọa phỏng không giống vẫn là một hàm khả vi.

Tọa phỏng dựa vào ấn định hướng[sửa | sửa mã nguồn]

Trong hình học tập và động học tập, hệ tọa phỏng được dùng nhằm tế bào mô tả địa điểm (tuyến tính) của những điểm và địa điểm góc của những trục, mặt mày phẳng phiu và vật rắn .^[15] Trong tình huống loại nhì, vị trí hướng của hệ tọa phỏng loại nhì (thường được gọi là "cục bộ"), cố định và thắt chặt với nút, được xác lập dựa vào hệ tọa phỏng loại nhất (thường được gọi là hệ tọa phỏng "toàn cầu" hoặc "thế giới"). Ví dụ, vị trí hướng của một trong những phần cứng rất có thể được màn trình diễn bởi vì một quỷ trận triết lý, nhưng mà bao hàm vô 3 cột của chính nó là tọa phỏng Descartes của 3 điểm. Những đặc điểm này được dùng nhằm xác triết lý của những trục của khối hệ thống viên bộ; bọn chúng là những đầu của tía vectơ đơn vị chức năng trực tiếp sản phẩm với những trục cơ.

Toạ phỏng vô địa lý[sửa | sửa mã nguồn]

Hệ tọa phỏng địa lý được chấp nhận toàn bộ từng điểm bên trên Trái Đất đều rất có thể xác lập được bởi vì nhì tọa phỏng của hệ tọa phỏng cầu ứng với trục tảo của Trái Đất. Toạ vật dụng bao gồm sở hữu độ kinh và vĩ độ

Tọa phỏng toán học[sửa | sửa mã nguồn]

Một hệ tọa phỏng (hay bạn dạng đồ) bên trên một luyện ngỏ của một nhiều tạp là 1 lớp hàm số thực thỏa mãn nhu cầu một vài đặc điểm chắc chắn (thí dụ như hàm cần thực hiện một phép tắc đồng phôi hay như là một phép tắc vi phôi bậc , hay như là một phép tắc vi phôi láng lên hình họa của nó). Có nhiều hệ tọa phỏng được sử dụng vô toán học:

Xem thêm: tính đường trung bình của hình thang

Không lừa lọc 2 chiều[sửa | sửa mã nguồn]

Hệ tọa phỏng Descartes: xác xác định trí của một điểm bên trên một phía phẳng phiu được mang lại trước bởi vì một cặp số tọa phỏng ứng với những phép tắc chiếu vuông góc lên hai tuyến đường trực tiếp vuông góc, gọi là những trục tọa phỏng.
Hệ tọa phỏng cực: là 1 hệ tọa phỏng hai phía vô cơ từng điểm M ngẫu nhiên bên trên một phía phẳng phiu được gửi nửa đường kính vô góc vị trí của chính nó. Nó chỉ tế bào mô tả được một trong những phần của mặt mày phẳng phiu hai phía (xem tính có một không hai của tọa phỏng cực).

Không lừa lọc 3 chiều[sửa | sửa mã nguồn]

Hệ tọa phỏng Descartes.
Hệ tọa phỏng cầu: là 1 hệ tọa phỏng mang lại không khí 3 chiều nhưng mà địa điểm một điểm được xác lập bởi vì 3 số: khoảng cách, góc nâng và góc độ kinh.
Hệ tọa phỏng giống hệt vô không khí tía chiều rất có thể được xem như là thành phẩm của phép tắc nhúng .

Không lừa lọc xạ ảnh[sửa | sửa mã nguồn]

Tọa phỏng đồng nhất

Hệ tọa phỏng trắc địa[sửa | sửa mã nguồn]

Trên một nhiều tạp Riemann, một hệ tọa phỏng trắc địa bên trên một điểm được mang lại bởi vì ánh xạ bạn dạng vật dụng với ngẫu nhiên đẳng cấu này. Nó cũng khá được gọi là hệ tọa phỏng trực chuẩn.

Hệ tọa phỏng vô trắc địa, bạn dạng đồ[sửa | sửa mã nguồn]

Trong trắc địa và bạn dạng vật dụng, hệ tọa phỏng gồm những:

Hệ tọa phỏng địa lý: Kinh phỏng, vĩ độ
Hệ tọa phỏng trắc địa: (B, L, H)
Hệ tọa phỏng phẳng: (XYH) theo đòi VN hoặc (NEH) theo đòi những nước châu Âu và châu Mỹ

Hệ tọa phỏng thiên văn[sửa | sửa mã nguồn]

Trong thiên văn học tập, hệ tọa phỏng thiên văn là 1 hệ tọa phỏng mặt mày cầu dùng để làm xác xác định trí biểu loài kiến của thiên thể bên trên thiên cầu. Có nhiều hệ tọa phỏng được sử dụng vô thiên văn.

Hệ tọa phỏng chân mây xuất hiện phẳng phiu tham ô chiếu là mặt mày phẳng phiu chân mây, bên trên địa điểm người xem.
Hệ tọa phỏng xích đạo với mặt mày phẳng phiu tham ô chiếu là mặt mày phẳng phiu xích đạo của Trái Đất.
Hệ tọa phỏng hoàng đạo người sử dụng mặt mày phẳng phiu hoàng đạo thực hiện mặt mày phẳng phiu tham ô chiếu.
Hệ tọa phỏng thiên hà người sử dụng mặt mày phẳng phiu Ngân Hà thực hiện mặt mày phẳng phiu tham ô chiếu.
Hệ tọa phỏng siêu thiên hà

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

^ Woods p. 1
^ Weisstein, Eric W., "Coordinate System" kể từ MathWorld.
^ Weisstein, Eric W., "Coordinates" kể từ MathWorld.
^ Stewart, James B.; Redlin, Lothar; Watson, Saleem (2008). College Algebra (ấn bạn dạng 5). Brooks Cole. tr. 13–19. ISBN 978-0-495-56521-5.
^ Moon P.., Spencer DE (1988). “Rectangular Coordinates (x, nó, z)”. Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (ấn bạn dạng 2). New York: Springer-Verlag. tr. 9–11 (Table 1.01). ISBN 978-0-387-18430-2.
^ Finney, Ross; George Thomas; Franklin Demana; Bert Waits (tháng 6 năm 1994). Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic . Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 0-201-55478-X.
^ Margenau, Henry; Murphy, George M. (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. Thành Phố New York City: D. nài Nostrand. tr. 178. ISBN 978-0-88275-423-9. LCCN 55010911. OCLC 3017486.
^ Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. tr. 658. ISBN 0-07-043316-X. LCCN 52011515.
^ Jones, Alfred Clement (1912). An Introduction to lớn Algebraical Geometry. Clarendon.
^ Hodge, W.V.D.; D. Pedoe (1994) [1947]. Methods of Algebraic Geometry, Volume I (Book II). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46900-5.
^ Woods p. 2
^ Tang, K. T. (2006). Mathematical Methods for Engineers and Scientists. 2. Springer. tr. 13. ISBN 3-540-30268-9.
^ Liseikin, Vladimir D. (2007). A Computational Differential Geometry Approach to lớn Grid Generation. Springer. tr. 38. ISBN 978-3-540-34235-9.
^ Munkres, James R. (2000) Topology. Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
^ Hanspeter Schaub; John L. Junkins (2003). “Rigid body toàn thân kinematics”. Analytical Mechanics of Space Systems. American Institute of Aeronautics and Astronautics. tr. 71. ISBN 1-56347-563-4.