hình chiếu đường thẳng lên mặt phẳng

Phương trình hình chiếu vuông góc của một đường thẳng liền mạch lên trên bề mặt phẳng

Phương trình hình chiếu vuông góc của $d$ lên $(P),$ với $d$ hạn chế $(P).$ Gọi $Q$ là mặt mày bằng chứa chấp $d$ và $Q\bot (P),$ vì thế $\Delta =(P)\cap (Q)$ và $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right] \right],$ lần một điểm nằm trong $\Delta $ là $A=d\cap (P).$

Bạn đang xem: hình chiếu đường thẳng lên mặt phẳng

>>Xem thêm Phương trình đàng phân giác của góc nhọn và tù của tạo nên bởi hai tuyến đường trực tiếp hạn chế nhau

Ví dụ 1: Trong không khí với hệ toạ chừng $Oxyz,$ mang đến đường thẳng liền mạch $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+5}{-1}=\dfrac{z-3}{4}.$ Phương trình này bên dưới đấy là phương trình của hình chiếu vuông góc của $d$ lên trên bề mặt bằng $x+3=0?$

A. $\left\{ \begin{align} & x=-3 \\ & y=-5-t \\ & z=-3+4t \\ \end{align} \right..$

B. $\left\{ \begin{align} & x=-3 \\ & y=-5+t \\ & z=3+4t \\ \end{align} \right..$

C. $\left\{ \begin{align} & x=-3 \\ & y=-5+2t \\ & z=3-t \\ \end{align} \right..$

D. $\left\{ \begin{align} & x=-3 \\ & y=-6-t \\ & z=7+4t \\ \end{align} \right..$

Giải. Gọi $Q$ là mặt mày bằng chứa chấp $d$ và $Q\bot (P),$ vì thế $\Delta =(P)\cap (Q)$ và

$\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right] \right]=(0;1;-4)$ và dễ dàng sở hữu $d\cap (P)=A(-3;-3;-5)\in \Delta ,$

Vậy $d\cap (P)=A(-3;-3;-5)\in \Delta ,$ so sánh đáp án nhận D.

Ví dụ 2: Trong không khí $Oxyz,$ mang đến đường thẳng liền mạch $d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$ và mặt mày bằng $\left( Phường \right):x+2y+z-4=0.$ Hình chiếu vuông góc của $d$ bên trên $\left( Phường \right)$ là đường thẳng liền mạch sở hữu phương trình là

A. $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z+2}{-4}.$

B. $\dfrac{x}{3}=\dfrac{y+1}{-2}=\dfrac{z+2}{1}.$

C. $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-4}.$

D. $\dfrac{x}{3}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-2}{1}.$

Dễ sở hữu $d\cap \left( Phường \right)=A\left( 0;1;2 \right).$

Giải. Gọi $\left( Q \right)$ là mặt mày bằng chứa chấp $d$ và vuông góc với $\left( Phường \right)\Rightarrow \left\{ \begin{gathered}\hfill \overrightarrow{{{n}_{Q}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}}\left( 1;1;-1 \right) \\ \hfill \overrightarrow{{{n}_{Q}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{P}}}\left( 1;2;1 \right) \\ \end{gathered} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right].$Khi cơ $\left( Phường \right)\cap \left( Q \right)=\Delta =\mathbf{h/c}\left( \mathbf{d,}\left( \mathbf{P} \right) \right)$ sở hữu một véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right] \right]=\left( 4;2;-8 \right)//\left( 2;1;-4 \right).$

Do cơ $\Delta :\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-4}.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 3: Trong không khí $Oxyz,$ mang đến đường thẳng liền mạch $d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$ và $\Delta :\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-4}.$ sành rằng $\Delta $ là hình chiếu vuông góc của $d$ bên trên mặt mày bằng $\left( Phường \right).$ Phương trình của $\left( Phường \right)$ là

Giải. Ta sở hữu $A\left( 0;1;2 \right)\in \Delta \Rightarrow A\in \left( Phường \right)$

Gọi $\left( Q \right)$ là mặt mày bằng chứa chấp $d$ và $\Delta $ thì $\left( Q \right)$ vuông góc với $\left( Phường \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{Q}}}\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}},\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}},\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right]//\left( 1;2;1 \right)$

Do cơ $\left( Phường \right):x+2y+z-4=0.$ Chọn đáp án C.

>Cách xác lập nhanh chóng toạ chừng tâm đàng tròn xoe nội tiếp tam giác vô không khí Oxyz

Ví dụ 4: Trong không khí $Oxyz,$ mang đến đường thẳng liền mạch $d:\dfrac{x-1}{2m+1}=\dfrac{y+3}{2}=\dfrac{z+1}{m-2},m\notin \left\{ -\frac{1}{2},2 \right\}$ và mặt mày bằng $(P):x+y+z-6=0.$ Gọi $\Delta $ là hình chiếu vuông góc của $d$ lên trên bề mặt bằng $(P).$ Có từng nào số thực $m$ nhằm $\Delta $ vuông góc với véctơ $\overrightarrow{a}(-1;0;1).$

Giải. Gọi $\left\{ \begin{gathered} (Q) \supset d \hfill \\ (Q) \bot (P) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = (4 - m; - m - 3;2m - 1).$

Khi cơ $\Delta =(P)\cap (Q)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{Q}}},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]=(-3m-2;3m-5;7).$

Vì $\Delta \bot \overrightarrow{a}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}.\overrightarrow{a}=0\Leftrightarrow -1(-3m-2)+7=0\Leftrightarrow m=-3.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 5: Trong không khí $Oxyz,$ mang đến nhị mặt mày bằng $\left( Phường \right):x+2y+z-4=0$ và $\left( R \right):x+2y+3z-8=0.$ Đường trực tiếp $d$ trực thuộc $\left( R \right),$ hình chiếu vuông góc của $d$ bên trên $\left( Phường \right)$ là đường thẳng liền mạch $\Delta :\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-4}.$ Phương trình của $d$ là

Giải. Gọi $\left( Q \right)=mp\left( d,\Delta \right)\Rightarrow \left( Q \right)\bot \left( Phường \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]=\left( -9;6;-3 \right)||\left( 3;-2;1 \right)$$\Rightarrow \left( Q \right):3x-2y+z=0$

Khi cơ $d=\left( Q \right)\cap \left( R \right)\Rightarrow d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-1}.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 6: Trong không khí $Oxyz,$ mang đến nhị điểm $A\left( 2;0;1 \right),B\left( 1;1;2 \right)$ và mặt mày bằng $\left( Phường \right):2x+y-2z+2=0.$ Gọi $d$ là đường thẳng liền mạch trực thuộc $\left( Phường \right)$ hạn chế $AB$ sao mang đến góc thân thích $AB$ với $d$ và $\left( Phường \right)$ đều nhau. Khoảng cơ hội kể từ $A$ cho tới $d$ bằng

Giải. Vì $d$ là đường thẳng liền mạch trực thuộc $\left( Phường \right)$ hạn chế $AB$ sao mang đến góc thân thích $AB$ với $d$ và $\left( Phường \right)$ đều nhau nên $d$ đó là hình chiếu vuông góc của $AB$ lên $\left( Phường \right)\Rightarrow AH\bot d\Rightarrow AH\bot \left( Phường \right)\Rightarrow d\left( A,d \right)=AH=d\left( A,\left( Phường \right) \right)=\dfrac{4}{3}.$ Chọn đáp án A.

Bài luyện tự động luyện:

Trong không khí với hệ toạ chừng $Oxyz,$ mang đến mặt mày bằng $(P):x+y-3z-3=0$ và đường thẳng liền mạch $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{-3}=\dfrac{z+2}{1}.$ Gọi ${d}'$ là hình chiếu vuông góc của $d$ lên trên bề mặt bằng $(P).$ Tìm một véctơ chỉ phương của ${d}'.$

Phương trình đường thẳng liền mạch đối xứng với đường thẳng liền mạch qua loa mặt mày phẳng

Ví dụ 1: Trong không khí $Oxyz,$ mang đến mặt mày bằng $\left( Phường \right):x+y+z-3=0$ và đường thẳng liền mạch $d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-2}{-1}$. Đường trực tiếp $d'$ đối xứng với $d$ qua loa mặt mày bằng $\left( Phường \right)$ sở hữu phương trình là

A. $\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y+1}{-2}=\dfrac{z+1}{7}.$

B.  $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-1}{7}.$

C. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-1}{7}.$

D.  $\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z+1}{7}.$

Giải. Ta sở hữu $d\cap (P)=I(1;1;1).$ Gọi $B$ là vấn đề đối xứng của $A(0;-1;2)\in d$ qua loa mặt mày bằng $(P) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \dfrac{x}{1} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{1} \hfill \\ 1\left( {\dfrac{{x + 0}}{2}} \right) + 1\left( {\dfrac{{y - 1}}{2}} \right) + 1\left( {\dfrac{{z + 2}}{2}} \right) - 3 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow B\left( {\dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{{10}}{3}} \right).$

Đường trực tiếp cần thiết lần qua loa nhị điểm $I,B$ sở hữu véctơ chỉ phương $\overrightarrow{IB}\left( \dfrac{1}{3};-\dfrac{2}{3};\dfrac{7}{3} \right)//(1;-2;7).$ Đối chiếu những đáp án lựa chọn C.

Phương trình hình chiếu tuy vậy song của đường thẳng liền mạch lên trên bề mặt phẳng

Ví dụ 1: Trong không khí $Oxyz,$ mang đến đường thẳng liền mạch $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{4}=\dfrac{z-3}{1}.$ Hình chiếu tuy vậy song của $d$ lên trên bề mặt bằng $(Ozx)$ theo gót phương của véctơ $\overrightarrow{u}(-1;-1;1)$ là

Giải. Ta sở hữu $B\left( 2;0;\dfrac{7}{2} \right)=d\cap (Ozx):y=0.$ Gọi $A(1;-2;3)\in d$ và $M(x;y;z)$ là hình chiếu tuy vậy song của $A$ lên trên bề mặt phẳng  $(Ozx)$ theo gót phương của véctơ $\overrightarrow{u}(-1;-1;1)$ tớ sở hữu điều kiện:

$\left\{ \begin{gathered} M \in (Ozx) \hfill \\ \overrightarrow {AM} = k( - 1; - 1;1) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} hắn = 0 \hfill \\ x - 1 = - k \hfill \\ hắn + 2 = - k \hfill \\ z - 3 = k \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ hắn = 0 \hfill \\ z = 1 \hfill \\ k = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow M(3;0;1).$

Đường trực tiếp cần thiết lần qua loa nhị điểm $B,M$ sở hữu $\overrightarrow{BM}\left( 1;0;-\dfrac{5}{2} \right)//(2;0;-5).$ Đối chiếu những đáp án lựa chọn C.

Ví dụ 2: Trong không khí $Oxyz,$ mang đến đường thẳng liền mạch $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z+1}{3}$và mặt mày bằng $(P):x+y+z-3=0.$ Đường trực tiếp là hình chiếu của $d$ theo gót phương $Ox$ lên trên bề mặt bằng $(P)$ sở hữu phương trình là

Giải. Chọn $A\left( 1;2;-1 \right)\in d$ và $B\left( \dfrac{4}{3};\dfrac{13}{6};-\dfrac{1}{2} \right)=d\cap \left( Phường \right).$

Gọi $M\left( a;b;c \right)$ là hình chiếu của $A$ lên \[\left( Phường \right)\] theo gót phương $Ox.$ Khi cơ $\overrightarrow{AM}\left( a-1;b-2;c+1 \right).$

Do $\overrightarrow{AM}$ nằm trong phương với $Ox$ nên $\overrightarrow {AM} = k(1;0;0) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} b - 2 = 0 \hfill \\ c + 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow b = 2,c = - 1.$

Do $M\in \left( Phường \right)$ nên $a+b+c=3\Leftrightarrow a=2.$ Khi cơ ${d}'$ qua loa $B\left( \dfrac{4}{3};\dfrac{13}{6};-\dfrac{1}{2} \right)$ và $M\left( 2;2;-1 \right).$

Xem thêm: công thức biến đổi

Có $\overrightarrow{BM}\left( \dfrac{2}{3};-\dfrac{1}{6};-\dfrac{1}{2} \right)//(4;-1;-3).$ Vậy ${d}':\dfrac{x-2}{4}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z+1}{-3}.$ Chọn đáp án B.

Hướng dẫn dùng MTCT Casio Fx 580 vô Oxyz

Tuyển luyện Đề đua demo Toán trung học phổ thông Quốc gia 2020 sở hữu điều giải chi tiết

Combo 4 Khoá Luyện đua trung học phổ thông Quốc Gia 2023 Môn Toán dành riêng cho teen 2K5

>>Xem tăng Cập nhật Đề đua demo đảm bảo chất lượng nghiệp trung học phổ thông 2023 môn Toán sở hữu điều giải chi tiết