Khối đa diện đều

Bách khoa toàn thư cởi Wikipedia

Trong hình học tập, một khối nhiều diện đều là một trong những khối nhiều diện sở hữu toàn bộ những mặt mày là những nhiều giác đều đều nhau và những cạnh đều nhau.

Bạn đang xem: hình đa diện đều

Đa diện đều được tạo thành nhiều diện đều lồi và lõm.

Đa diện đều lồi[sửa | sửa mã nguồn]

Trong không khí tía chiều, chỉ mất đích thị 5 khối nhiều diện đều lồi (khối nhiều diện lồi sở hữu toàn bộ những mặt mày, những cạnh và những góc ở đỉnh vì chưng nhau), 3 nhập số bọn chúng xuất hiện là những tam giác đều (xem minh chứng nhập bài). Chúng được reviews trong những hình bên dưới đây:

Năm khối nhiều diện đều
Tứ diện đều	Khối lập phương	Khối chén diện đều	Khối mươi nhì mặt mày đều	Khối nhì mươi mặt mày đều
(Xem hình quay)	(Xem hình quay)	(Xem hình quay)	(Xem hình quay)	(Xem hình quay)

Tên của bọn chúng gọi theo dõi số mặt mày của từng khối ứng là 4, 6, 8, 12, và đôi mươi. Các khối này đều phải sở hữu số mặt mày là chẵn (cần hội chứng minh?)

Đa diện đều lõm[sửa | sửa mã nguồn]

Còn được gọi là nhiều diện sao, vì thế bọn chúng sở hữu những góc nhô rời khỏi như cánh của ngôi sao

Các đặc thù về số lượng[sửa | sửa mã nguồn]

Một khối nhiều diện lồi là đều nếu như và chỉ nếu như thỏa mãn nhu cầu cả tía đặc thù sau

Xem thêm: tinh dien tich hinh chop

Tất cả những mặt mày của chính nó là những nhiều giác đều, vì chưng nhau
Các mặt mày ko tách nhau ngoài các cạnh
Mỗi đỉnh là phú của một vài mặt mày như nhau (cũng là phú của số cạnh như nhau).

Mỗi khối nhiều diện đều hoàn toàn có thể xác lập bươi ký hiệu {p, q} nhập đó

p = số những cạnh của từng mặt mày (hoặc số những đỉnh của từng mặt)

q = số những mặt mày gặp gỡ nhau ở một đỉnh (hoặc số những cạnh gặp gỡ nhau ở từng đỉnh).

Khí hiệu {p, q}, được gọi là ký hiệu Schläfli, là đặc thù về con số của khối nhiều diện đều. Ký hiệu Schläfli của năm khối nhiều diện đều được cho tới nhập bảng sau.

Khối nhiều diện đều	Số đỉnh	Số cạnh	Số mặt	Ký hiệu Schläfli	Vertex configuration
tứ diện đều	4	6	4	{3, 3}	3.3.3
khối lập phương	8	12	6	{4, 3}	4.4.4
khối chén diện đều	6	12	8	{3, 4}	3.3.3.3
khối mươi nhì mặt mày đều	20	30	12	{5, 3}	5.5.5
khối nhì mươi mặt mày đều	12	30	20	{3, 5}	3.3.3.3.3

Tất cả những vấn đề con số không giống của khối nhiều diện đều như số những đỉnh (V), số những cạnh (E), và số những mặt mày (F), hoàn toàn có thể tính được kể từ p và q. Vì từng cạnh nối nhì đỉnh, từng cạnh kề nhì mặt mày nên tất cả chúng ta có:

Một mối quan hệ không giống trong số những độ quý hiếm này cho tới bươi công thức Euler:

Còn sở hữu tía hệ thức không giống với V, E, and F là:

Các thành phẩm cổ điển[sửa | sửa mã nguồn]

Một thành phẩm cổ xưa là chỉ mất đích thị năm khối nhiều diện đều lồi.

Chứng minh vì chưng hình học[sửa | sửa mã nguồn]

Các mệnh đề hình học tập sau được biết kể từ Euclid nhập kiệt tác Elements:

Mỗi đỉnh của khối nhiều diện cần là phú của tối thiểu tía mặt mày.
Tại từng đỉnh của khối nhiều diện, tổng những góc của những mặt mày cần nhỏ rộng lớn 360°.
Các góc bên trên toàn bộ những đỉnh của khối nhiều diện đều là đều nhau vì thế từng góc cần nhỏ rộng lớn 360°/3=120°.
Các nhiều giác đều phải sở hữu kể từ sáu cạnh trở lên trên sở hữu góc là 120° trở lên trên nên ko thể là mặt mày của khối nhiều diện đều, vì thế nguyệt lão mặt mày của khối nhiều diện đều chỉ hoàn toàn có thể là những tam giác đều, hình vuông vắn hoặc ngũ giác đều. Cụ thể:
1. Các mặt mày là tam giác đều: góc ở từng đỉnh của tam giác đều là 60°, vì thế bên trên từng đỉnh chỉ mất 3, 4, hoặc 5 góc của tam giác; ứng tớ sở hữu những tứ diện đều, khối tám mặt mày đều và khối nhì mươi mặt mày đều.
2. Các mặt mày là hình vuông: góc ở đỉnh hình vuông vắn là 90°, vì thế chỉ hoàn toàn có thể sở hữu tía mặt mày bên trên từng đỉnh tớ sở hữu khối lập phương.
3. Các mặt mày là ngũ giác đều: từng góc ở đỉnh là 108°; vì thế chỉ hoàn toàn có thể sở hữu đích thị tía mặt mày bên trên một đỉnh, Khi đo tớ sở hữu khối mươi nhì mặt mày đều.

Chứng minh vì chưng topo[sửa | sửa mã nguồn]

Một minh chứng khá giản dị và đơn giản vì chưng topo phụ thuộc những vấn đề về khối nhiều diện. Chìa khóa của minh chứng là công thức Euler , và những mối quan hệ . Từ những đẳng thức này

Một chuyển đổi đại số giản dị và đơn giản cho tới ta

Xem thêm: quy tắc đạo hàm

Vì là số dương tớ cần có

Dựa nhập việc cả p và q tối thiểu là 3, đơn giản dễ dàng sở hữu năm cặp hoàn toàn có thể của {p, q}:

Khối nhiều diện đều nhập trò đùa may rủi[sửa | sửa mã nguồn]

Các khối nhiều diện đều thông thường được sử dụng là quân xúc xắc sử dụng trong những trò đùa may rủi. Con xúc xắc sáu mặt mày (khối lập phương) thông thường được sử dụng hơn hết, tuy vậy cũng hoàn toàn có thể sử dụng những khối 4, 8, 12, đôi mươi mặt mày như nhập hình sau đây.