khái niệm hàm số

Trong toán học tập, một hàm số^{[note 1]} hoặc gọi cụt là hàm (Tiếng Anh: function) là 1 trong những loại ánh xạ thân thiết nhị tập trung số links từng thành phần của luyện số thứ nhất với đích thị một thành phần của luyện số loại nhị. Ví dụ nổi bật là những hàm kể từ số vẹn toàn thanh lịch số vẹn toàn hoặc kể từ số thực thanh lịch số thực.

Các hàm số lúc đầu là việc hoàn hảo hóa cơ hội một đại lượng thay cho thay đổi tùy theo một đại lượng không giống. Ví dụ, địa điểm của một hành tinh ranh là 1 trong những hàm số của thời hạn. Về mặt mũi lịch sử dân tộc, định nghĩa này được xây cất dựa vào quy tắc tính vi tích phân vô vào cuối thế kỷ 17, và cho tới thế kỷ 19, những hàm được xem là khả vi (nghĩa là bọn chúng sở hữu cường độ mịn cao). Khái niệm hàm số được đầu tiên hóa vô vào cuối thế kỷ 19 bên dưới dạng lý thuyết tập trung, và điều này tiếp tục không ngừng mở rộng đáng chú ý những nghành nghề phần mềm của định nghĩa này.

Bạn đang xem: khái niệm hàm số

Một hàm số là 1 trong những quy trình hoặc một quan hệ nhưng mà links từng thành phần x của một tập trung X, được gọi là miền xác định của hàm số, cho tới một thành phần y độc nhất của một tập trung Y (có thể là và một tập trung như X), và gọi là tập thích hợp đích của hàm số này. Hàm số thông thường được ký hiệu vị những vần âm như f, g và h.^[1]

Nếu hàm được gọi là f, mối quan hệ này được ký hiệu là y = f (x) (đọc là " f của x "), vô cơ thành phần x là đối số hoặc đầu vào của hàm và y là giá trị của hàm, đầu ra hoặc ảnh của x theo đòi f .^[2] Ký hiệu được dùng nhằm màn biểu diễn nguồn vào là trở thành của hàm (ví dụ: f là hàm của trở thành x).^[3]

Một hàm số được màn biểu diễn độc nhất vị tập trung toàn bộ những cặp số (x, f (x)), được gọi là loại thị của hàm số. ^{[note 2][4]} Khi miền và miền là tập trung những số thực, từng cặp vì vậy hoàn toàn có thể được xem là tọa chừng Descartes của một điểm vô mặt mũi phẳng lì. Tập thích hợp những điểm đó được gọi là loại thị của hàm số; nó là 1 trong những phương tiện đi lại thông dụng nhằm minh họa một hàm số.

Các hàm số được dùng rộng thoải mái vô khoa học tập và vô đa số những nghành nghề toán học tập. Người tớ tiếp tục bảo rằng những hàm là "đối tượng trung tâm của nghiên cứu" vô đa số những nghành nghề toán học tập.^[5]

Khái niệm[sửa | sửa mã nguồn]

Nói một cơ hội trực quan liêu, hàm là 1 trong những quy trình links từng thành phần của tập trung số X với cùng 1 thành phần của tập trung số Y.

Về mặt mũi mẫu mã, một hàm f kể từ luyện X cho tới luyện Y được xác lập vị luyện G bao gồm những cặp sở hữu trật tự (x, y) sao mang lại x ∈ X, y ∈ Y, và từng thành phần của X là bộ phận thứ nhất của đích thị một cặp sở hữu trật tự ghép song vô G ^{[6] [note 3]} Nói cách thứ hai, với từng x vô X, sở hữu đích thị một thành phần y sao mang lại cặp sở hữu trật tự (x, y) nằm trong luyện những cặp xác lập hàm f . Tập thích hợp G được gọi là loại thị của hàm số. Về mặt mũi mẫu mã, nó hoàn toàn có thể được xác lập với hàm số bên trên, tuy nhiên điều này phủ ỉm cơ hội lý giải thường thì về một tác dụng như 1 quy trình. Do cơ, vô cơ hội dùng thường thì, hàm số thông thường được phân biệt với loại thị của chính nó.

Trong khái niệm về hàm số, X và Y ứng được gọi là tập/miền xác định và tập đích/ miền giá bán trị của hàm f ^[7] Nếu (x, y) nằm trong luyện xác lập f, thì y là ảnh của x trải qua f, hoặc giá trị của f được vận dụng mang lại đối số x . điều đặc biệt, vô văn cảnh của những số lượng, người tớ cũng bảo rằng y là độ quý hiếm của f so với giá trị x của trở thành của nó, hoặc cụt gọn gàng rộng lớn, y là giá trị của f của x, được ký hiệu là y = f(x) .

Hai hàm f và g là cân nhau, nếu như miền và tập trung miền xác lập của bọn chúng như là nhau và độ quý hiếm Output của bọn chúng như là nhau bên trên toàn miền xác lập cơ. Chính thức rộng lớn, f = g nếu như f(x) = g(x) với từng x ∈ X, vô cơ f:X → Y và g:X → Y ^{[8] [9] [note 4]}

Miền xác lập và miền độ quý hiếm ko cần khi này cũng rất được hỗ trợ rõ nét khi một hàm được xác lập và, nếu như không tồn tại một số trong những đo lường (có thể khó), người tớ hoàn toàn có thể chỉ hiểu được miền được chứa chấp vô một tập trung to hơn. Thông thông thường, điều này xẩy ra vô giải tích toán học tập, vô cơ "một hàm từ X cho tới Y " thông thường nói đến một hàm hoàn toàn có thể sở hữu một luyện con cái mến hợp^{[note 5]} của X là miền xác lập. Ví dụ, một "hàm kể từ độ quý hiếm thực cho tới độ quý hiếm thực" hoàn toàn có thể tham lam chiếu cho tới một hàm có mức giá trị thực của một trở thành thực. Tuy nhiên, một "hàm kể từ số thực cho tới số thực" ko Có nghĩa là miền của hàm là toàn cỗ luyện những số thực, nhưng mà chỉ mất nghĩa miền là luyện những số thực sở hữu chứa chấp khoảng chừng phanh ko trống rỗng. Khi cơ một hàm vì vậy được gọi là hàm một trong những phần. Ví dụ: nếu như f là 1 trong những hàm sở hữu những số thực là miền xác lập và miền độ quý hiếm, thì một hàm ánh xạ độ quý hiếm x với độ quý hiếm là 1 trong những hàm g kể từ miền số thực cho tới miền số thực, sở hữu miền xác lập là luyện những số thực x, sao mang lại f(x) ≠ 0 .

Phạm vi của một hàm là tập trung những hình họa của toàn bộ những thành phần vô miền.^[10][11][12] Tuy nhiên, phạm vi nhiều khi được dùng như 1 kể từ đồng nghĩa tương quan của miền độ quý hiếm,^[12][13] hay được sử dụng trong số sách cũ.

Định nghĩa người sử dụng quan liêu hệ[sửa | sửa mã nguồn]

Bất kỳ luyện con cái này của tích Descartes bao gồm nhị tập trung và xác lập một mối quan hệ nhị ngôi thân thiết nhị tập trung này. Rõ ràng là 1 trong những mối quan hệ tùy ý hoàn toàn có thể chứa chấp những hai bạn vi phạm những ĐK quan trọng cho 1 hàm số tiếp tục mang lại phía trên.

Một mối quan hệ nhị ngôi là sở hữu tính hàm số (còn được gọi là độc nhất mặt mũi phải) nếu

Một mối quan hệ nhị phân là sở hữu tính tiếp nối đuôi nhau (còn được gọi là tổng mặt mũi trái) nếu

Một hàm một trong những phần là 1 trong những mối quan hệ nhị ngôi nhưng mà sở hữu tính hàm số..

Một hàm số là 1 trong những mối quan hệ nhị ngôi sở hữu tính hàm số và tiếp nối đuôi nhau.

Các tính chất không giống nhau của hàm số và bộ phận hàm số hoàn toàn có thể được định hình lại vị ngôn từ của những mối quan hệ. Ví dụ, một hàm số là đơn ánh nếu như mối quan hệ ngược là sở hữu tính hàm số, vô cơ mối quan hệ ngược được khái niệm là ^[14]

Cách mang lại hàm số[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm số hoàn toàn có thể được mang lại vị bảng hoặc vị biểu loại hoặc vị 1 biểu thức hoặc nhiều biểu thức bên trên từng khoảng chừng, đoạn, nửa khoảng chừng.

Ví dụ: X = {1,2,3,4,5}, Y = {5,6,7,8,9,10}.

Hàm được mang lại bảng sau:

Các hàm mang lại vị biểu thức như , , ...

Lưu ý: Trong lịch trình môn Toán ở bậc Trung học tập phổ thông của VN (chỉ nói đến Hàm số trở thành số thực) quy ước rằng:

• Khi ko phân tích tăng, miền xác lập (tập xác định) của hàm số mang lại vị biểu thức nó = f(x) là tập trung toàn bộ những độ quý hiếm của x thực hiện mang lại f(x) sở hữu nghĩa.

Ví dụ: Hàm số sở hữu miền xác lập là hoặc

Hàm số sở hữu miền xác lập là

Ví dụ: Miền độ quý hiếm của hàm số là .

• Nếu X,Y thì hàm số được gọi là hàm số thực.

Ví dụ: Hàm lượng giác ,hàm nón ,...

• Nếu X,Y thì hàm số được gọi là hàm số trở thành số phức.

Ví dụ: Hàm xê dịch ;

• Nếu X thì hàm số được gọi là hàm số số học tập.

Ví dụ: Hàm Euler màn biểu diễn số những số đương nhiên ko vượt lên trước quá n và yếu tắc cùng với nhau với n, hàm Sigma màn biểu diễn tổng toàn bộ những ước của số đương nhiên n...

Các dạng của hàm số[sửa | sửa mã nguồn]

Đơn ánh, tuy nhiên ánh, toàn ánh[sửa | sửa mã nguồn]

Như bên trên tiếp tục kể, hàm số là 1 trong những tình huống ánh xạ, nên người tớ cũng mô tả hàm số bên dưới 3 dạng là đơn ánh, toàn ánh và tuy nhiên ánh.

Đơn ánh[sửa | sửa mã nguồn]

Một hàm số là đơn ánh khi nó vận dụng lên 2 đối số không giống nhau luôn luôn mang lại 2 độ quý hiếm không giống nhau.

Xem thêm: cách bấm máy tính bất phương trình

Một cơ hội nghiêm ngặt, hàm f, xác lập bên trên X và nhận độ quý hiếm vô Y, là đơn ánh nếu mà nó vừa lòng ĐK với từng x₁ và x₂ nằm trong X và nếu như x₁ ≠ x₂ thì f(x₁) ≠ f(x₂).

Nghĩa là, hàm số f là đơn ánh khi và chỉ khi:

Với loại thị hàm số nó = f(x) vô hệ tọa chừng Đề những, từng đường thẳng liền mạch vuông góc với trục đối số Ox tiếp tục chỉ tách lối cong loại thị bên trên tối đa là 1 trong những điểm

Toàn ánh[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm số f được gọi là toàn ánh nếu mà với từng số y nằm trong Y tớ luôn luôn tìm kiếm được tối thiểu một số trong những x nằm trong X sao mang lại f(x) = y. Theo cơ hội gọi của ánh xạ thì ĐK này Có nghĩa là từng thành phần y nằm trong Y đều là ảnh của tối thiểu một tạo ảnh x nằm trong X qua loa ánh xạ f.

Nghĩa là, hàm số f là toàn ánh khi và chỉ khi:

cũng tức là

Đồ thị hàm tách đường thẳng liền mạch

Song ánh[sửa | sửa mã nguồn]

Trong toán học tập, song ánh, hoặc hàm tuy nhiên ánh, là một hàm số f từ tập X vào tập Y thỏa mãn đặc điểm, so với mỗi y thuộc Y, sở hữu độc nhất một x thuộc X sao cho f(x) = y.

Nói cách thứ hai, f là một tuy nhiên ánh nếu như và chỉ nế như đó là tương ứng một-một giữa nhị luyện hợp; tức là nó vừa phải là đơn ánh và vừa phải là toàn ánh.

Ví dụ, xét hàm fxác lăm le bên trên luyện hợp số nguyên  vào, được lăm le nghĩa f(x) = x + 1. Ví dụ không giống, so với từng cặp số thực (x,y) hàm f xác lăm le bởi f(x,y) = (x + y, x − y) là một song ánh

Hàm tuy nhiên ánh nhiều khi còn gọi là hoán vị.

Tập thích hợp toàn bộ những tuy nhiên ánh kể từ tập X vào tập Y được ký hiệu là X ↔ Y. Thông thông thường luyện những hoạn của tập X được ký hiệu là X!.

Song ánh đóng góp nhiều tầm quan trọng cần thiết vô toán học tập, như nó dùng để làm lăm le nghĩa đẳng cấu (và những định nghĩa tương quan như phép đồng phôi và vi phôi), nhóm hoạn, ánh xạ xạ hình họa, và nhiều khái niệm khác

Minh hoạ[sửa | sửa mã nguồn]

Đơn ánh tuy nhiên không cần toàn ánh		Toàn ánh nhưng không cần đơn ánh		Song ánh

Hàm thích hợp và hàm ngược[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm hợp[sửa | sửa mã nguồn]

Cho những hàm số:

trong cơ X, Y, Z là những tập trung số thưa cộng đồng. Hàm hợp của f₁ và f₂ là hàm số:

được khái niệm bởi:

Có thể ký hiệu hàm thích hợp là:

Ví dụ, hàm số f(x) = sin (x²+1) là hàm số thích hợp f₂(f₁(x)), vô cơ f₂(y) = sin(y), f₁(x) = (x² +1).

Việc nhận ra một hàm số là hàm thích hợp của những hàm không giống, trong không ít tình huống hoàn toàn có thể khiến cho những đo lường giải tích (đạo hàm, vi phân, tích phân) trở thành giản dị và đơn giản rộng lớn.

Hàm ngược[sửa | sửa mã nguồn]

Cho hàm số tuy nhiên ánh:

trong cơ X, Y là tập trung số thưa cộng đồng.Khi cơ từng thành phần y = f(x) với y nằm trong Y đều là hình họa của một và có một thành phần x vô X. Như vậy, hoàn toàn có thể bịa đặt ứng từng thành phần y vô Y với cùng 1 thành phần x vô X. Phép ứng này đã xác lập một hàm số, ánh xạ kể từ Y thanh lịch X, hàm số này được gọi là hàm số ngược của hàm số f và được ký hiệu là:

Nếu f⁻¹(x) tồn bên trên tớ thưa hàm số f(x) là khả nghịch. cũng có thể thưa đặc điểm tuy nhiên ánh là ĐK cần thiết và đầy đủ nhằm hàm f(x) khả nghịch tặc, tức là nếu như f(x) là tuy nhiên ánh thì tớ luôn luôn tìm kiếm được hàm ngược f⁻¹(x) và ngược lại.

Đồ thị của hàm số[sửa | sửa mã nguồn]

Thông thông thường thì hàm số được xác lập vị một biểu thức tổng quát mắng y = f(x) này cơ, ví như y = x² - 5. Tuy nhiên cũng đều có những hàm đặc biệt quan trọng nhưng mà quy tắc mang lại ứng x với y của chính nó không áp theo ngẫu nhiên một quy luật này nhằm hoàn toàn có thể miêu tả vị một biểu thức toán học tập. Trong tình huống này tớ hoàn toàn có thể lập bảng cho những độ quý hiếm đối số x và những độ quý hiếm hàm số y ứng với bọn chúng. Hình như hàm số còn hoàn toàn có thể được xác lập một cơ hội triệt nhằm vị đồ thị của chính nó.

Đối với hàm số một trở thành số thực (có miền xác lập thực), loại thị hàm số được khái niệm như sau:

Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập trung những điểm bên trên mặt mũi phẳng lì R² sở hữu tọa chừng [x, f(x)].

Ký hiệu loại thị hàm số theo đòi khái niệm bên trên là:

Xem thêm: học toán 123

Các đặc điểm của hàm số[sửa | sửa mã nguồn]

Tính đơn điệu[sửa | sửa mã nguồn]

Giả sử hàm số y= f(x) xác lập bên trên K. Ta nói:

Tính chẵn lẻ[sửa | sửa mã nguồn]

Điều khiếu nại nhằm một hàm số chẵn hoặc lẻ[sửa | sửa mã nguồn]

Cho hàm số y=f(x) xác lập bên trên D

1. Điều khiếu nại tiên quyết nhằm hàm số sở hữu tính chẵn lẻ là luyện xác lập của hàm số cần đối xứng qua loa điểm 0, tức là
2. Để hàm số sẽ là chẵn cần thiết tăng ĐK f(-x) = f(x)
3. Để hàm số sẽ là lẻ cần thiết tăng ĐK f(-x) = -f(x)
4. Nếu thiếu thốn ĐK 1 hoặc cả nhị ĐK 2 và 3 thì coi như hàm số không tồn tại tính chẵn lẻ.

Đồ thị của hàm số chẵn và hàm số lẻ[sửa | sửa mã nguồn]

Trong mặt mũi phẳng lì tọa chừng Descartes:

• Đồ thị của từng hàm số chẵn đều nhận trục Oy thực hiện trục đối xứng.
• Đồ thị của từng hàm số lẻ đều nhận gốc tọa chừng thực hiện tâm đối xứng.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

1. ^ The words map, mapping, transformation, correspondence, and operator are often used synonymously. Halmos 1970.
2. ^ This definition of "graph" refers đồ sộ a set of pairs of objects. Graphs, in the sense of diagrams, are most applicable đồ sộ functions from the real numbers đồ sộ themselves. All functions can be described by sets of pairs but it may not be practical đồ sộ construct a diagram for functions between other sets (such as sets of matrices).
3. ^ The sets X, Y are parts of data defining a function; i.e., a function is a phối of ordered pairs with , together with the sets X, Y, such that for each , there is a unique with in the phối.
4. ^ This follows from the axiom of extensionality, which says two sets are the same if and only if they have the same members. Some authors drop codomain from a definition of a function, and in that definition, the notion of equality has đồ sộ be handled with care; see, for example, “When bởi two functions become equal?”. Stack Exchange. ngày 19 mon 8 năm năm ngoái.
5. ^ called the domain of definition by some authors, notably computer science