lim của tích

1. Giới hạn hữu hạn

+) Cho khoảng tầm \(K\) chứa chấp điểm \(x_0\) và hàm số \(y = f(x)\) xác lập bên trên \(K\) hoặc bên trên \(K\backslash {\{x_0}\rm{\} }.\)

Bạn đang xem: lim của tích

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim} f(x) = L\) Lúc và chỉ Lúc với sản phẩm số \((x_n)\) bất kì, \(x_n ∈ K\backslash {\rm{\{ }}{x_0}{\rm{\} }}\) và \(x_n\rightarrow x_0\)_, ta sở hữu
\(\lim f(x_n) =L\). 

+) Cho hàm số \(y = f(x)\) xác lập bên trên khoảng tầm \((x_0; b)\).

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{+}}{\lim} f(x) = L\) Lúc và chỉ Lúc sản phẩm số \((x_n) bất kì, \(x_0<x_n< b\) và \(x_n\rightarrow x_0\) ,tớ sở hữu \(\lim f(x_n) = L\).

+) Cho hàm số \(y = f(x)\) xác lập bên trên khoảng tầm \((a; x_0)\).

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{-}}{\lim} f(x) = L\) Lúc và chỉ Lúc với sản phẩm số \((x_n)\) bất kì, \(a <x_n< x_0\) và \(x_n\rightarrow x_0\), tớ sở hữu
\(\lim f(x_n) = L\).

+) Cho hàm số \(y = f(x)\) xác lập bên trên khoảng tầm \((a; +∞)\).

\(\underset{x\rightarrow+\infty }{\lim} f(x) = L\) Lúc và chỉ Lúc với sản phẩm số \((x_n)\) bất kì, \(x_n> a\), \(x_n\rightarrow +\infty\) thì \(lim f(x_n) = L\).

+) Cho hàm số \(y = f(x)\) xác lập bên trên khoảng tầm \((-∞; a)\).

\(\underset{x\rightarrow-\infty }{\lim} f(x) = L\) Lúc và chỉ Lúc với sản phẩm số \((x_n)\) bất kì, \(x_n< a\), \(x_n\rightarrow -\infty\) thì \(\lim f(x_n) = L\).

2. Giới hạn vô cực

Sau đó là nhị vô số nhiều loại số lượng giới hạn vô vô cùng không giống nhau:

+) Cho hàm số \(y = f(x)\) xác lập bên trên khoảng tầm \((a; +∞)\), \(\underset{x\rightarrow+\infty }{\lim} f(x) = -∞\) Lúc và chỉ Lúc với sản phẩm số \((x_n)\) bất kì, \(x_n> a\), \(x_n\rightarrow +\infty\) thì tớ sở hữu \(\lim f(x_n) = -∞\)

Nhận xét: \(f(x)\) sở hữu số lượng giới hạn \(+∞ \) Lúc và chỉ Lúc \(-f(x)\) sở hữu số lượng giới hạn \(-∞\).

3. Các số lượng giới hạn quánh biệt

a) \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim} x = x_0\);

b) \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim}c = c\);

c) \(\underset{x\rightarrow \pm \infty }{\lim} c = c\);

d) \(\underset{x\rightarrow \pm \infty }{\lim}\) \(\frac{c}{x} = 0\) (\(c\) là hằng số);

Xem thêm: tính delta phương trình bậc 2

e) \(\underset{x\rightarrow+\infty }{\lim} x^k= +∞\), với \(k\) nguyên vẹn dương;

f) \(\underset{x\rightarrow-\infty }{lim} x^k= -∞\), nếu như \(k\) là số lẻ;

g)  \(\underset{x\rightarrow-\infty }{lim}x^k = +∞\) , nếu như \(k\) là số chẵn.

4. Định lí về số lượng giới hạn hữu hạn

Định lí 1. 

a) Nếu \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} = L\) và \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim}\) \(g(x) = M\) thì:

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} [f(x) + g(x)] = L + M\);

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} [f(x) - g(x) = L - M\);

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} [f(x) . g(x)] = L.M\);

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim}\) \(\frac{f(x)}{g(x)}\)= \(\frac{L}{M}\) (nếu \(M ≠ 0\)).

b) Nếu \(f(x) ≥ 0\) và \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim} f(x) = L\), thì \(L ≥ 0\) và \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim}\sqrt {f(x)} = \sqrt L\)

Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng vào khi \(x_n\rightarrow +\infty\) hoặc \(x_n\rightarrow -\infty\).

Định lí 2.

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} f(x) = L\) Lúc và chỉ khi \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{+}}{lim}\) f(x) = \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{-}}{\lim} f(x) = L\).

5. Quy tắc về số lượng giới hạn vô cực

a) Quy tắc số lượng giới hạn của tích \(f(x).g(x)\)

+ Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) =  \pm \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = L \ne 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]\) được mang lại vô bảng sau:

b) Quy tắc dò la số lượng giới hạn của thương \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\)

Xem thêm: đề thi học sinh giỏi văn 8

+ Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L \ne 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 0\) và \(g\left( x \right) > 0\) hoặc \(g\left( x \right) < 0\) với từng \(x \in J\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\), vô cơ \(J\) là 1 trong khoảng tầm nào là cơ chứa chấp \({x_0}\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) được mang lại vô bảng sau:

Loigiaihay.com