lý thuyết đồng dư

Lời tựa: Đ?#8220;ng dư là 1 trong những khí cụ cần thiết nhập số học tập. Đ?#8220;ng dư được thi công bởi vì căn nhà tóan học tập tài năng thiên bẩm Gass. Tuy nhiên thì so với những em trung học cơ sở đ?#8220;ng dư là phân học tập khá khó khăn hiểu và trìu tượng. Qua nhiều cuộc truyện trò với những em lớp 8,9 đ?#8220;ng thời thỏa mãn nhu cầu yêu cầu ganh đua ngôi trường thường xuyên lớp lựa chọn của cá em, bản thân đưa ra quyết định lập đi ra topic này nhằm người xem nhập trao thay đổi về đ?#8220;ng dư và lí thuyết đ?#8220;ng dư, bản thân mong muốn rằng từng vướng mắc về đ?#8220;ng dư sẽ tiến hành xử lý ở trên đây và topic này sẽ sở hữu ích nhiều cho những em trong những công việc học hành và phân tích toán học
Dự tấp tểnh của tớ là tiếp tục post 4 bài bác giảng rộng lớn của những thầy tuy nhiên bản thân được học tập (có lựa chọn lọc) và một vài bài bác tập dượt. Mong từng ngưởi mang lại ý kiến
Lưu ý Trong topic này tớ chỉ xét những số bên trên tập dượt Z chính vì vậy nếu như hok phát biểu chi thêm thắt thì những số này là số nguyên
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

BÀI 1: ĐỒNG DƯ THỨC

1.1 Định nghĩa : mang lại số nguyên vẹn m>1 và những số nguyên vẹn a,b. Nếu Khi phân chia a, b mang lại m tớ được nằm trong một vài dư thì tớ phát biểu a đồng dư với b theo gót modulo m
$=> a \equiv b \Leftrightarrow a=mp+r; b=mq+r ( r< m) $
khi cơ tớ kí hiệu $a \equiv b \pmod{m}$

1.2 Định lí: Các mệnh đề sau là tương đương
i, $ a \equiv b$
ii, $m|(a-b)$
iii, $\exists t \in \mathbb{Z} : a=b +mt$
Ba mệnh đề bên trên tớ đơn giản centimet được bởi vì khái niệm.

1.3 Tính Chất. Hệ quả

1. phản xạ: $a \equiv a \pmod{m}$
đối xứng: $a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow b \equiv a \pmod{m}$
bắc cầu: $a \equiv b(modm); b \equiv c (modm) => a \equiv c (modm)$
2. Ta rất có thể nằm trong (trừ) từng vế nhiều đ?#8220;ng dư thức của và một modulo m với nhau: $a_{k} \equiv b_{k} (modm) k=1,2,..,n; \varepsilon_{k} \in {1, -1} => \sum\limits_{k=1}^{n} \varepsilon_{k} a_{k} \equiv \sum\limits_{k=1}^{n} \varepsilon_{k} b_{k} (modm)$
3. cũng có thể nhân từng vế đông đúc dư thức của và một modulo m : $a_{k} \equiv b_{k} (modm) k=1,2,..,n => \prod\limits_{k=1}^{n}a_{k} \equiv \prod\limits_{k=1}^{n} b_{k} (modm)$
*hệ quả:
a, $a \equiv b (modm) \Leftrightarrow a \pm c \equiv b \pm c (modm)$
$b, a \equiv b+c (modm) \Leftrightarrow a-b \equiv c (modm)$
$c, a \equiv b (modm) => ac \equiv bc (modm)$
điều ngược lại chỉ đúng lúc (m,c)=1
d, $a \equiv b (modm) \Leftrightarrow a \equiv b+mp (modm)$
$e, a \equiv b(modm) => a^{n} \equiv b^{n} (modm)$
4. Nếu d\a, d\b (d,m)=1 Khi cơ $a \equiv b(modm) \Leftrightarrow \dfrac{a}{d} \equiv \dfrac{b}{d} (modm)$

5. Nếu d\ (a,b,m) Khi cơ $a \equiv b(modm) \Leftrightarrow \dfrac{a}{d} \equiv \dfrac{b}{d} (mod \dfrac{m}{d})$

6. $a \equiv b( mod m_{k} ) k=1,2,..,n => a \equiv b(mod [m_{1}, m_{2},..m_{n}])$ ở trên đây $[m_{1},...m_{n}]$ là bội công cộng nhỏ nhất của $m_{1}, m_{2},..m_{n}$. Đây là tc khá cần thiết và sở hữu phần mềm khá rộng.

7. nếu như $a \equiv b (modm)$ thì tập kết ước công cộng của a và m (X) bởi vì tập dượt ước công cộng của b và m (Y)
CM : centimet $X \subset Y$ và $Y \subset X$
giả sử $x \in X$ Khi cơ a,m phân chia không còn mang lại x tuy nhiên a-b phân chia không còn mang lại m => a-b phân chia không còn mang lại x, tự a phân chia không còn mang lại x => b phân chia không còn mang lại x => x là ước công cộng của b và m => $x \in Y => X \subset Y$
tương tự động tớ tiếp tục centimet được $Y \subset X => X=Y$

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Các đặc điểm và hệ trái ngược được centimet khá giản dị và đơn giản bởi vì khái niệm chính vì vậy người xem rất có thể tự động centimet ( nếu như hok centimet được cái này rất có thể bạo dạn căn vặn bản thân tiếp tục trả lời cho)
TO BE CONTINEU.......(mỏi tay rùi)

Bài viết lách và đã được sửa đổi nội dung bởi vì Phạm Quang Toàn: 08-09-2011 - 13:08

BT cơ bạn dạng :

1)CM:$ 12^{2n + 1} + 11^{n + 2} \vdots 133 $

2)CM:$ 2.31^n + 1 \vdots 3 $

3)CM:$ 3^{2010} + 5^{2013} \vdots 13 $

4)Cho:$ x,y,z \in Z $,$ x^2 + y^2 = z^2 $.CM:$ xy \vdots 6 $

5)Có $ \exists n \in Z^ + $ hay là không nhằm $ 2008^{n^2 + 2n + 1} + 2008 \vdots 223 $

6)Tìm dư:
$ {\rm{a}}{\rm{. 23}}^{{\rm{34}}} ^{^{{\rm{19 }}} } {\rm{:17 b}}{\rm{. 46}}^{{\rm{2345}}} {\rm{ : 37 c}}{\rm{. 239}}^{237^{54} } {\rm{ :135 d}}{\rm{. 2}}^{{\rm{1000000}}} {\rm{ : 3}}^{10} $

7)n là số nguyên vẹn dương lẻ .CM:$ A = 46^n + 296.13^n \vdots 1947 $ (Hungari-1947)

Bài viết lách và đã được sửa đổi nội dung bởi vì Phạm Quang Toàn: 08-09-2011 - 13:13

có bài bác này e ko hiểu anh chị hỗ trợ, em cảm ơn
đề:cm nếu như m là số nguyên vẹn dương thì bất kì số nguyên vẹn a nào thì cũng đồng dư với cùng một và chỉ một vài của mặt hàng số 0,1,2,....,m-1 theo gót mod m
bài giải: tớ sở hữu $a=mq+r ;0 \leq r<m \Rightarrow a-r=mq \Rightarrow a \equiv r(mod m)$
cần centimet nhì số dư đều nhau nhập luật lệ phân chia mang lại m
giả sử $ 0 \leq r_{1} <m ; 0 \leq r_{2} <m $
và $ r_{1} \equiv r_{2}(mod m)* \Rightarrow r_{1}- r_{2}=pm $
Ta sở hữu $ 0 \leq r_{1}<m$ ;$ -m< -r_{2} \leq 0 $
$ \Rightarrow -m< r_{1}- r_{2}<m \Rightarrow r_{1}- r_{2}=0** \Rightarrow r_{1}= r_{2}$
cho em căn vặn cái * này là ở đâu đi ra ạ và sao bản thân lại suy đi ra được cái **

Bài viết lách và đã được sửa đổi nội dung bởi vì hung0503: 06-12-2008 - 13:59

What if the rain keeps falling?
What if the sky stays gray?
What if the wind keeps squalling,
And never go away?
I still ........

có bài bác này e ko hiểu anh chị hỗ trợ, em cảm ơn
đề:cm nếu như m là số nguyên vẹn dương thì bất kì số nguyên vẹn a nào thì cũng đ?#8220;ng dư với cùng một và chỉ một vài của mặt hàng số 0,1,2,....,m-1 theo gót mod m

Bài này dễ dàng tuy nhiên em ( đặc điểm cơ bản). Giả sử $a \equiv p ( modm)$ và $a \equiv r ( modm) ( 0 \leq p\ , r < m\ , p \neq m)
=> p \equiv r (modm) =>( p-r) \vdots m$, fake sử $p>r => (p-r ) \geq m$ ( đặc điểm cơ bản) ( phi lí tự $p, r < m$) $=> p=r$ ( đpcm)

What if the rain keeps falling?
What if the sky stays gray?
What if the wind keeps squalling,
And never go away?
I still ........

ko biết em post nhập trên đây đích ko vì như thế nó thuộc sở hữu phân chia không còn......
ta sở hữu đặc điểm : nếu như a và b là 2 số nguyên vẹn, b dương thì tớ được a=bq+r nhập cơ $ 0 \leq r<b$
vậy vì sao nhập bài bác centimet $ a^{3}-3$ ko phân chia không còn mang lại 7 thì tớ lại trình diễn a=7k+r với r nằm trong {0,1,-1,-2,2,3,-3}
sao khi thì nhằm là $ 0 \leq r<b$ còn khi thì lại nhằm là r nằm trong {0,1,-1,-2,2,3,-3}
xin anh chị hỗ trợ em còn nhiều thiếu thốn sót, em van cảm ơn

Bài viết lách và đã được sửa đổi nội dung bởi vì hung0503: 06-12-2008 - 19:08

What if the rain keeps falling?
What if the sky stays gray?
What if the wind keeps squalling,
And never go away?
I still ........

vậy vì sao nhập bài bác centimet $ a^{3}-3$ ko phân chia không còn mang lại 7 thì tớ lại trình diễn a=7k+r với r nằm trong {0,1,-1,-2,2,3,-3}
sao khi thì nhằm là $ 0 \leq r<b$ còn khi thì lại nhằm là r nằm trong {0,1,-1,-2,2,3,-3}

a=7k+r(r=0,1,-1,-2,2,3,-3) ko xích míc với ĐK $ 0 \leq r<b$ .Ví dụ:a=7k-3=7(k-1)+4=7u+4 ; a=7k-1=7(k-1)+6=7u+6...
Nếu tớ trình diễn a=7k+6 và a=7k-1 vậy Khi $ a^3 $ thì cơ hội trình diễn này dễ dàng chứng tỏ Việc rộng lớn...
Bài toán này cũng rất có thể giải bằng đồng đúc dư.

ko biết em post nhập trên đây đích ko vì như thế nó thuộc sở hữu phân chia không còn......
ta sở hữu đặc điểm : nếu như a và b là 2 số nguyên vẹn, b dương thì tớ được a=bq+r nhập cơ $ 0 \leq r<b$
vậy vì sao nhập bài bác centimet $ a^{3}-3$ ko phân chia không còn mang lại 7 thì tớ lại trình diễn a=7k+r với r nằm trong {0,1,-1,-2,2,3,-3}
sao khi thì nhằm là $ 0 \leq r<b$ còn khi thì lại nhằm là r nằm trong {0,1,-1,-2,2,3,-3}
xin anh chị hỗ trợ em còn nhiều thiếu thốn sót, em van cảm ơn

Hi, đó là thắc mắc hoặc. Bài toán này tớ trọn vẹn rất có thể fake sử $a=7k+r$ với $r \in {\ {0;1;2;3;4;5;6}\ }$ nó ko tác động chi cho tới cơ hội centimet cả. Nhưng ở trên đây Khi tớ đặt điều nó là $\pm1; \pm2; \pm 3$ thì Khi tớ lập phương lên nó sẽ bị gọn gàng rộng lớn thui , nếu như em hok mến thì rất có thể đặt điều lại

có bài bác này e ko hiểu anh chị hỗ trợ, em cảm ơn
đề:cm nếu như m là số nguyên vẹn dương thì bất kì số nguyên vẹn a nào thì cũng đồng dư với cùng một và chỉ một vài của mặt hàng số 0,1,2,....,m-1 theo gót mod m
bài giải: tớ sở hữu $a=mq+r ;0 \leq r<m \Rightarrow a-r=mq \Rightarrow a \equiv r(mod m)$
cần centimet nhì số dư đều nhau nhập luật lệ phân chia mang lại m
giả sử $ 0 \leq r_{1} <m ; 0 \leq r_{2} <m $
và $ r_{1} \equiv r_{2}(mod m)* \Rightarrow r_{1}- r_{2}=pm $
Ta sở hữu $ 0 \leq r_{1}<m$ ;$ -m< -r_{2} \leq 0 $
$ \Rightarrow -m< r_{1}- r_{2}<m \Rightarrow r_{1}- r_{2}=0** \Rightarrow r_{1}= r_{2}$
cho em căn vặn cái * này là ở đâu đi ra ạ và sao bản thân lại suy đi ra được cái **

à anh hiểu ý em rùi, cái * này là tớ fake sử Khi phân chia a mang lại q tớ được nhì số dư là $r_{1}$ và $r_{2}$ . Còn kể từ * => ** là fake sử $r_{1}-r_{2} \neq 0$, tớ luôn luôn fake sử được $r_{1} >r_{2}$ Khi cơ tớ sở hữu $m>r_{1} -r_{2} >0$, lại tự $r_{1} -r_{2}$ phân chia không còn mang lại $m>0 => r_{1} -r_{2} >m$ ( mâu thuẫn) $=> r_{1}-r_{2} =0$

BT cơ bạn dạng :

1)CM:$ 12^{2n + 1} + 11^{n + 2} \vdots 133 $

2)CM:$ 2.31^n + 1 \vdots 3 $

3)CM:$ 3^{2010} + 5^{2013} \vdots 13 $

Chà nhiều bài bác thế này sao hok ai thực hiện, thui nhằm em gà thực hiện bao nhiêu bài bác dễ dàng trước vậy

1)$12^{2n + 1} + 11^{n + 2}\equiv \ 11^n.12+11^{n+2}\equiv \ 0(mod 133) $
2)$ 2.31^n + 1 \equiv \ 3(mod3) $
3)$ 3^{2010} + 5^{2013} \equiv \ 3^{3.670}+5^{2.1006+1}\equiv \ 1+-1\equiv 0 (mod13)$

Bài viết lách và đã được sửa đổi nội dung bởi vì Phạm Quang Toàn: 08-09-2011 - 13:14

BT cơ bạn dạng :

5)Có $ \exists n \in Z^ + $ hay là không nhằm $ 2008^{n^2 + 2n + 1} + 2008 \vdots 223 $

Ta có
$2008\equiv \ 1(mod223)$
$ 2008^{n^2 + 2n + 1} + 2008 \equiv \ 2 (mod223)$

Bài viết lách và đã được sửa đổi nội dung bởi vì Phạm Quang Toàn: 08-09-2011 - 13:16

BT cơ bạn dạng :

7)n là số nguyên vẹn dương lẻ .CM:$ A = 46^n + 296.13^n \vdots 1947 $ (Hungari-1947)

$ A = 46^{2k+1} + 296.13^{2k+1} \equiv \ 13^{2k}+13^{2k+1}.296\equiv \ 13^{2k}(46+293.13)\equiv \ 0 (mod 1947) $

Bài viết lách và đã được sửa đổi nội dung bởi vì Phạm Quang Toàn: 08-09-2011 - 13:17

4)Cho:$ x,y,z \in Z $,$ x^2 + y^2 = z^2 $.CM:$ xy \vdots 6 $

Áp dụng tính chất

_ $a^2 \equiv 0,1 \pmod{3}$.
_ $a^2 \equiv 0,1 \pmod{4}$.

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid vĩ đại be wrong, vĩ đại look silly, vĩ đại not be serious, and vĩ đại act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out vĩ đại be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed vĩ đại be, reasonable.

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 

Xin hùn vui
Định lí Ferma nhỏ:
Định lí ferma nhỏ xác định rằng: nếu như p là một vài nhân tố, thì với số nguyên vẹn a ngẫu nhiên , $a^{p}$ �ồ a tiếp tục phân chia không còn mang lại p. Nghĩa là:
$a^{p} \equiv a (mod p) $
Một cơ hội tuyên bố không giống của tấp tểnh lý như sau: nếu như p là số nhân tố và a là số nguyên vẹn nhân tố bên cạnh nhau với p, thì $a^{p-1}$ - 1 tiếp tục phân chia không còn mang lại p. phẳng phiu kíhiệu đ�ồng dư tớ có:
$a^{p-1} \equiv 1 (mod p)$ << Cái này hoặc dùng

Bài viết lách và đã được sửa đổi nội dung bởi vì Minhnguyenquang75: 08-09-2011 - 13:40

3)CM:$ 3^{2010} + 5^{2013} \vdots 13 $

Bài này bản thân thực hiện thiếu sót nơi nào tuy nhiên ko CM đc

$ 3^{2010} + 5^{2013} \vdots 13 = 3^{3.670} + 5^{2.1006+1}= 27^{670} + 25^{1006}.5 \equiv 1+(-1)^{1006}.5$
$=1+1.5=6 \pmod{13} $

Bài viết lách và đã được sửa đổi nội dung bởi vì Phạm Quang Toàn: 25-10-2011 - 20:43

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid vĩ đại be wrong, vĩ đại look silly, vĩ đại not be serious, and vĩ đại act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out vĩ đại be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed vĩ đại be, reasonable.

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 

Chứng minh rằng với từng số nguyên vẹn dương $n$ thì $A=5^{n}(5^{n}+1)-6^{2}(3^{n}-2^{n})\vdots 91$

Chứng minh rằng với từng số nguyên vẹn dương $n$ thì $A=5^{n}(5^{n}+1)-6^{2}(3^{n}-2^{n})\vdots 91$

Hình như ghi sai đề rồi!

Bài này bản thân thực hiện thiếu sót nơi nào tuy nhiên ko CM đc

Xem thêm: đề thi thử thpt quốc gia môn hóa 2020

$ 3^{2010} + 5^{2013} \vdots 13 = 3^{3.670} + 5^{2.1006+1}= 27^{670} + 25^{1006}.5 \equiv 1+(-1)^{1006}.5$
$=1+1.5=6 \pmod{13} $

Toàn suy nghĩ $3^{2010}+5^{2010} \ \vdots \ 13$ thì đúng ra.

Nếu như sửa đề như Jinbe thì tiếp tục chứng tỏ được ngay:
3²⁰¹⁰ phân chia 13 dư 1
5²⁰¹⁰ phân chia 13 dư 12
~~>> đpcm