nghiệm của phương trình bậc 2

By Admin 10/11/2023 0

Bách khoa toàn thư cởi Wikipedia

Công thức nghiệm tổng quát mắng của phương trình bậc hai

Trong đại số sơ cung cấp, phương trình bậc hai là phương trình với dạng: .

Bạn đang xem: nghiệm của phương trình bậc 2

Với x là ẩn số không biết và a, b, c là những số tiếp tục biết sao mang đến a không giống 0. Các số a, b, và c là những hệ số của phương trình và rất có thể phân biệt bằng phương pháp gọi ứng hệ số bậc hai, hệ số bậc một, và hằng số hoặc hệ số tự động do.[1]

Vì phương trình bậc nhì có duy nhất một ẩn nên nó được gọi là phương trình "đơn biến". Phương trình bậc nhì chỉ chứa chấp lũy quá của x là những số đương nhiên, vì vậy bọn chúng là 1 trong những dạng phương trình nhiều thức, rõ ràng là phương trình nhiều thức bậc nhì bởi bậc tối đa là nhì.

Các cơ hội giải phương trình bậc nhì thịnh hành là nhân tử hóa (phân tích trở nên nhân tử), cách thức phần bù bình phương, dùng công thức nghiệm, hoặc đồ gia dụng thị. Giải pháp cho những yếu tố tương tự động phương trình bậc nhì đã và đang được loài người nghe biết từ thời điểm năm 2000 trước Công Nguyên.

Giải phương trình bậc hai[sửa | sửa mã nguồn]

Hình 1. Đồ thị của hàm số bậc nhì y = ax2 + bx + c với từng thông số biến hóa trong lúc những thông số không giống không thay đổi bên trên độ quý hiếm a = 1, b = 0, c = 0. Ví dụ, đồ gia dụng thị phía bên phải là của hàm số y = ax2 (b = c = 0 ko đổi) ứng với những độ quý hiếm a thay cho thay đổi là −4/3, −1/2, 0, 1/3, và 3/2 (màu sắc tương ứng); tương tự động đồ gia dụng thị ở thân thuộc là của hàm số y = x2 + bx và đồ gia dụng thị phía bên trái là của hàm số y = x2 + c.

Một phương trình bậc nhì với những thông số thực hoặc phức với nhì đáp số, gọi là những nghiệm. Hai nghiệm này còn có thế phân biệt hoặc ko, và rất có thể là thực hoặc ko.

Phân tích trở nên nhân tử bằng phương pháp kiểm tra[sửa | sửa mã nguồn]

Phương trình bậc nhì ax2 + bx + c = 0 rất có thể viết lách được trở nên (px + q)(rx + s) = 0. Trong một vài ba tình huống, điều này rất có thể triển khai vì chưng một bước đánh giá giản dị nhằm xác lập những độ quý hiếm p, q, r, và s sao mang đến phù phù hợp với phương trình đầu. Sau Lúc tiếp tục viết lách được trở nên dạng này thì phương trình bậc nhì tiếp tục vừa lòng nếu như px + q = 0 hoặc rx + s = 0. Giải nhì phương trình số 1 này tao tiếp tục mò mẫm đi ra được nghiệm.

Với đa số học viên, phân tách trở nên nhân tử bằng phương pháp đánh giá là cách thức giải phương trình bậc nhì trước tiên mà người ta được tiếp cận.[2]:202–207 Nếu phương trình bậc nhì ở dạng x2 + bx + c = 0 (a = 1) thì rất có thể mò mẫm cơ hội phân tách vế ngược trở nên (x + q)(x + s), nhập tê liệt q và s với tổng là -b và tích là c (đây đôi lúc được gọi là "quy tắc Viet"[3]) Ví dụ, x2 + 5x + 6 viết lách trở nên (x + 3)(x + 2). Trường phù hợp tổng quát mắng rộng lớn Lúc a ≠ 1 yên cầu nỗ lực to hơn trong công việc đoán, test và kiểm tra; giả thiết rằng trọn vẹn rất có thể thực hiện được như thế.

Trừ những tình huống đặc biệt quan trọng như Lúc b = 0 hoặc c = 0, phân tách vì chưng đánh giá chỉ triển khai được so với những phương trình bậc nhì với nghiệm hữu tỉ. Vấn đề này Có nghĩa là nhiều phần những phương trình bậc nhì đột biến nhập phần mềm thực tiễn đưa ko thể giải được vì chưng cách thức này.[2]:207

Phần bù bình phương[sửa | sửa mã nguồn]

Hình 2. Đồ thị hàm số bậc nhì y = x2 − x − 2. Các hoành chừng phó điểm của đồ gia dụng thị với trục hoành x = −1 và x = 2 là nghiệm của phương trình bậc nhì x2 − x − 2 = 0.

Trong quy trình triển khai xong bình phương tao dùng hằng đẳng thức:

một thuật toán rẽ ròi rất có thể vận dụng nhằm giải ngẫu nhiên phương trình bậc nhì này.[2]:207 Bắt đầu với phương trình bậc nhì dạng tổng quát mắng ax2 + bx + c = 0

  1. Chia nhì vế mang đến a, thông số của ẩn bình phương.
  2. Trừ c/a từng vế.
  3. Thêm bình phương của 50% b/a, thông số của x, nhập nhì vế, vế ngược tiếp tục phát triển thành bình phương không thiếu thốn.
  4. Viết vế ngược trở nên bình phương của một tổng và giản dị hóa vế cần nếu như quan trọng.
  5. Khai căn nhì vế nhận được nhì phương trình số 1.
  6. Giải nhì phương trình số 1.

Tiếp theo đòi là ví dụ minh họa việc dùng thuật toán này. Giải phương trình 2x2 + 4x − 4 = 0

Đây là tiếng giải.

Dấu cộng-trừ "±" biểu thị rằng cả x = −1 + √3 và x = −1 − √3 đều là nghiệm của phương trình.[4]

Công thức nghiệm[sửa | sửa mã nguồn]

Có thể vận dụng cách thức phần bù bình phương nhằm rút đi ra một công thức tổng quát mắng mang đến việc giải phương trình bậc nhì, được gọi là công thức nghiệm của phương trình bậc nhì.[5] Giờ là phần minh chứng tóm lược.[6] phẳng phiu khai triển nhiều thức, thường thấy phương trình sau đây tương tự với phương trình đầu:

Lấy căn bậc nhì của nhì vế rồi fake x về một phía, tao được:

Một số mối cung cấp tư liệu, nhất là tư liệu cũ, dùng thông số hóa phương trình bậc nhì thay cho thế như ax2 + 2bx + c = 0 hoặc ax2 − 2bx + c = 0 ,[7] ở trên đây b có tính rộng lớn vì chưng 50% và rất có thể đem vệt ngược lại. Các dạng nghiệm là khá không giống, sót lại thì tương tự.

Xem thêm: sach canh dieu com

Còn một vài cơ hội rút ra sức thức nghiệm rất có thể nhìn thấy nhập tư liệu. Các cơ hội minh chứng này là giản dị rộng lớn cách thức phần bù bình phương xài chuẩn chỉnh.

Một công thức không nhiều thịnh hành rộng lớn, như sử dụng nhập cách thức Muller và rất có thể tìm ra kể từ công thức Viet:

Một đặc điểm của công thức này là lúc a = 0 nó sẽ bị đã cho ra một nghiệm hợp thức, trong lúc nghiệm sót lại với chứa chấp quy tắc phân tách mang đến 0, vì chưng Lúc a = 0 thì phương trình bậc nhì tiếp tục fake về số 1 với cùng một nghiệm. trái lại, công thức thịnh hành chứa chấp quy tắc phân tách mang đến 0 ở cả nhì tình huống.

Phương trình bậc nhì rút gọn[sửa | sửa mã nguồn]

Việc rút gọn gàng phương trình bậc nhì làm cho thông số lớn số 1 vì chưng một đôi lúc là tiện lợi. Cách thực hiện là phân tách cả nhì vế mang đến a, điều này luôn luôn triển khai được vì chưng a không giống 0, tao được phương trình bậc nhì rút gọn:[8]

trong tê liệt p = b/a và q = c/a. Công thức nghiệm của phương trình này là:

Biệt thức[sửa | sửa mã nguồn]

Hình 3. Hình ảnh tận hưởng của vệt của biệt thức cho tới số nghiệm [thực] của phương trình bậc nhì. Khi Δ > 0, đàng parabol tách trục hoành bên trên nhì điểm; Δ = 0, đỉnh của parabol xúc tiếp với trục hoành bên trên một điểm duy nhất; Δ < 0, parabol ko phó trục hoành bên trên ngẫu nhiên điểm này. (đường parabol là đồ gia dụng thị của hàm số bậc hai)

Trong công thức nghiệm của phương trình bậc nhì, biểu thức bên dưới vệt căn được gọi là biệt thức và thông thường được màn biểu diễn bằng văn bản D hoa hoặc chữ delta hoa (Δ) nhập bảng vần âm Hy Lạp:[9]

Ngoài đi ra, với b = 2b' thì tao với biệt thức thu gọn:
với Δ = 4Δ'

Phương trình bậc nhì với những thông số thực rất có thể với cùng một hoặc nhì nghiệm thực phân biệt, hoặc nhì nghiệm phức phân biệt. Trong tình huống này biệt thức đưa ra quyết định con số và thực chất của nghiệm. Có tía ngôi trường hợp:

  • Nếu Δ (hoặc Δ') dương (Δ > 0 hoặc Δ'>0), phương trình với nhì nghiệm phân biệt:
cả nhì đều là nghiệm thực. Đối với những phương trình bậc nhì với thông số hữu tỉ, nếu như Δ, Δ' là một vài chủ yếu phương thì nghiệm là hữu tỉ; còn với những tình huống không giống bọn chúng rất có thể là những số vô tỉ.
  • Nếu Δ = 0 (hoặc Δ' = 0), phương trình với cùng một nghiệm thực:
(hoặc )
hay đôi lúc thường hay gọi là nghiệm kép.
  • Nếu Δ (hoặc Δ') âm (Δ < 0 hoặc Δ' < 0), phương trình không tồn tại nghiệm thực, thay cho nhập này là nhì nghiệm phức phân biệt[10]
hoặc
là những số phức phối hợp, còn i là đơn vị chức năng ảo.

Vậy phương trình với nghiệm phân biệt Lúc và chỉ Lúc Δ không giống 0, với nghiệm thực Lúc và chỉ Lúc Δ ko âm (Δ ≥ 0) .

Diễn giải vì chưng hình học[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm số f(x) = ax2 + bx + c là hàm số bậc nhì.[11] Đồ thị của ngẫu nhiên hàm bậc nhì nào thì cũng đều sở hữu một dạng công cộng được gọi là parabol. Vị trí, hình dạng, kích thước của parabol tùy thuộc vào độ quý hiếm của a, b, và c. Nếu a > 0, prabol với cùng một điểm rất rất đái và bề lõm phía lên trên; nếu như a < 0, parabol với cùng một điểm cực lớn và bề lõm phía xuống bên dưới (xem hình 1, a). Cực điểm của parabol ứng với đỉnh của nó; điểm này còn có hoành chừng , tính x rồi thế nhập hàm số tao tiếp tục tìm ra độ quý hiếm tung chừng. Đồ thị phó trục tung bên trên điểm với tọa chừng (0, c).

Các nghiệm của phương trình bậc nhì ax2 + bx + c = 0 ứng là những nghiệm của hàm số f(x) = ax2 + bx + c vì chưng bọn chúng là những độ quý hiếm của x làm cho f(x) = 0. Nếu a, b, và c là những số thực và miền xác lập của hàm f là tập trung số thực thì nghiệm của f là hoành chừng của giao/tiếp điểm của đồ gia dụng thị với trục hoành (xem hình 3).

Nhân tử hóa nhiều thức bậc hai[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu thức

là nhân tử của nhiều thức

khi và chỉ Lúc r là 1 trong những nghiệm của phương trình bậc hai

Từ công thức nghiệm tao có

Trong tình huống đặc biệt quan trọng b2 = 4ac (hay Δ = 0) phương trình có duy nhất một nghiệm phân biệt, rất có thể nhân tử hóa nhiều thức bậc nhì thành

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Ngay từ thời điểm năm 2000 trước Công Nguyên, những ngôi nhà toán học tập Babylon tiếp tục rất có thể giải những Việc tương quan cho tới diện tích S và những cạnh của hình chữ nhật. Có minh chứng chỉ ra rằng thuật toán này xuất hiện tại kể từ triều đại Ur loại tía.[12] Theo ký hiệu tân tiến, những Việc này thông thường tương quan cho tới việc giải hệ bao gồm nhì phương trình:

tương đương với phương trình:[13]:86

Các bước giải được người Babylon thể hiện như sau:

  1. Tính p/2.
  2. Bình phương sản phẩm tìm ra.
  3. Trừ lên đường q.
  4. Tính căn bậc nhì vì chưng bảng căn bậc nhì.
  5. Cộng sản phẩm của bước (1) và (4) nhằm mò mẫm x. Vấn đề này về cơ bạn dạng là tương tự với việc tính

Ở Babylon, Ai Cập, Hy Lạp, Trung Quốc, và đè Độ, cách thức hình học tập được dùng nhằm giải phương trình bậc nhì. Tài liệu Berlin Papyrus của những người Ai Cập với kể từ thời Trung quốc gia (từ năm 2050 cho tới 1650 trước CN) với chứa chấp tiếng giải của phương trình bậc nhì hai số hạng.[14] Trong vẹn toàn bạn dạng kinh Sulba Sutras, khoảng tầm thế kỷ 8 trước công nhân, phương trình bậc nhì dạng ax2 = c và ax2 + bx = c được tham khảo vì chưng cách thức hình học tập. Các ngôi nhà toán học tập Babylon kể từ khoản năm 400 trước công nhân và những ngôi nhà toán học tập Trung Quốc kể từ khoảng tầm năm 200 trước công nhân tiếp tục dùng cách thức phân loại hình học tập nhằm giải những phương trình bậc nhì với nghiệm dương.[15][16] Cuốn Cửu chương toán thuật của những người Trung Quốc với ghi những quy tắc của phương trình bậc nhì.[16][17] Trong những cách thức hình học tập thuở đầu này sẽ không xuất hiện tại một công thức tổng quát mắng. Tới khoảng tầm năm 300 trước công nhân, ngôi nhà toán học tập Hy Lạp Euclid tiếp tục đã cho ra một cách thức hình học tập trừu tượng rộng lớn. Với cơ hội tiếp cận trọn vẹn vì chưng hình học tập, Pythagoras và Euclid sẽ khởi tạo dựng một cách thức tổng quan tiền nhằm mò mẫm nghiệm của phương trình bậc nhì. Trong kiệt tác Arithmetica của tớ, ngôi nhà toán học tập Hy Lạp Diophantus tiếp tục giải phương trình bậc nhì, song chỉ đã cho ra một nghiệm, cho dù là Lúc cả nhì nghiệm đều là dương.[18]

Vào năm 628 công nhân, Brahmagupta, một ngôi nhà toán học tập đè Độ thể hiện tiếng giải rõ nét trước tiên (dù vẫn ko trọn vẹn tổng quát) mang đến phương trình bậc nhì ax2 + bx = c như sau: "Nhân số vô cùng (c) với tứ thứ tự thông số bình phương, cùng theo với bình phương thông số số hạng ở giữa; căn bậc nhì toàn cỗ, trừ lên đường thông số số hạng ở thân thuộc, rồi phân tách mang đến nhì thứ tự thông số bình phương là độ quý hiếm." (Brahmasphutasiddhanta, Colebrook translation, 1817, tr 346)[13]:87 Vấn đề này tương đương:

Thủ bạn dạng Bakhshali thành lập và hoạt động ở đè Độ nhập thế kỷ 7 công nhân với có một công thức đại số mang đến việc giải phương trình bậc nhì, cũng như các phương trình vô lăm le. Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi ra đi rộng lớn trong công việc cung ứng một tiếng giải không thiếu thốn mang đến phương trình bậc nhì dạng tổng quát mắng,[19] ông đã và đang tế bào mô tả cách thức phần bù bình phương và quá nhận rằng biệt thức cần dương,[19][20]:230 điều đã và đang được 'Abd al-Hamīd ibn Turk (Trung Á, thế kỷ 9) minh chứng. Turk là kẻ thể hiện những biểu đồ gia dụng hình học tập minh chứng rằng nếu như biệt thức âm thì phương trình bậc nhì vô nghiệm.[20]:234 Trong Lúc bạn dạng thân thuộc al-Khwarizmi ko đồng ý nghiệm âm, những ngôi nhà toán học tập Hồi giáo kế tiếp tục ông sau đây tiếp tục đồng ý nghiệm âm na ná nghiệm vô tỉ.[19]:191[21] Cá biệt Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (Ai Cập, thế kỷ 10) là kẻ trước tiên đồng ý những số vô tỉ (thường ở dạng căn bậc nhì, căn bậc tía hoặc căn bậc bốn) là nghiệm hoặc là thông số của phương trình bậc nhì.[22] Nhà toán học tập đè Độ thế kỷ loại 9 Sridhara tiếp tục viết lách đi ra những quy tắc giải phương trình bậc nhì.[23]

Xem thêm: các công thức đạo hàm cơ bản

Nhà toán học tập người Do Thái Abraham bar Hiyya Ha-Nasi (thế kỷ 12, Tây Ban Nha) là người sáng tác cuốn sách trước tiên của những người châu Âu với chứa chấp tiếng giải không thiếu thốn mang đến phương trình bậc nhì dạng tổng quát mắng.[24] Giải pháp của Ha-Nasi dựa nhiều nhập kiệt tác của Al-Khwarizmi.[19] Lần trước tiên thông số âm của 'x' xuất hiện tại nhập kiệt tác ở trong phòng toán học tập người Trung Quốc Yang Hui (1238–1298 CN), mặc dù vậy ông mang đến điều này là kể từ ngôi nhà toán học tập Liu Yi ở thời trước tê liệt.[25] Vào năm 1545 Gerolamo Cardano biên soạn những kiệt tác tương quan cho tới phương trình bậc nhì. Công thức nghiệm mang đến từng tình huống lần thứ nhất đạt được vì chưng Simon Stevin nhập năm 1594.[26] Năm 1637 René Descartes công phụ thân kiệt tác La Géométrie nhập tê liệt với chứa chấp công thức nghiệm tuy nhiên tất cả chúng ta biết thời nay. Lời giải tổng quát mắng xuất hiện tại lần thứ nhất nhập tư liệu toán học tập tân tiến nhập năm 1896, vì chưng Henry Heaton.[27]

Công thức Viète[sửa | sửa mã nguồn]

Công thức Viète mang đến tao thấy mối quan hệ giản dị Một trong những nghiệm của nhiều thức với những thông số của chính nó. Trong tình huống phương trình bậc nhì một ẩn, bọn chúng được tuyên bố như sau:

Các tình huống phân biệt quánh biệt[sửa | sửa mã nguồn]

Khi phương trình bậc nhì tiếp tục mang đến với tín hiệu sau:

Chủ đề liên quan[sửa | sửa mã nguồn]

  • Phương trình
  • Phương trình tuyến tính
  • Hàm số bậc nhất
  • Hàm số bậc hai
  • Phương trình bậc ba
  • Phương trình bậc bốn
  • Phương trình bậc năm
  • Lý thuyết cơ bạn dạng của đại số
  • Đường cong bậc hai
  • Mặt bậc hai

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Protters & Morrey: " Calculus and Analytic Geometry. First Course"
  2. ^ a b c Washington, Allyn J. (2000). Basic Technical Mathematics with Calculus, Seventh Edition. Addison Wesley Longman, Inc. ISBN 0-201-35666-X.
  3. ^ Ebbinghaus, Heinz-Dieter; Ewing, John H. (1991), Numbers, Graduate Texts in Mathematics, 123, Springer, tr. 77, ISBN 9780387974972.
  4. ^ Sterling, Mary Jane (2010), Algebra I For Dummies, Wiley Publishing, tr. 219, ISBN 978-0-470-55964-2
  5. ^ Rich, Barnett; Schmidt, Philip (2004), Schaum's Outline of Theory and Problems of Elementary Algebra, The McGraw-Hill Companies, ISBN 0-07-141083-X, Chapter 13 §4.4, p. 291
  6. ^ Himonas, Alex. Calculus for Business and Social Sciences, p. 64 (Richard Dennis Publications, 2001).
  7. ^ Kahan, Willian (ngày đôi mươi mon 11 năm 2004), On the Cost of Floating-Point Computation Without Extra-Precise Arithmetic (PDF), truy vấn ngày 25 mon 12 năm 2012
  8. ^ Alenit͡syn, Aleksandr and Butikov, Evgeniĭ. Concise Handbook of Mathematics and Physics, p. 38 (CRC Press 1997)
  9. ^ Δ is the initial of the Greek word Διακρίνουσα, Diakrínousa, discriminant.
  10. ^ Achatz, Thomas; Anderson, John G.; McKenzie, Kathleen (2005). Technical Shop Mathematics. Industrial Press. tr. 277. ISBN 0-8311-3086-5.
  11. ^ Wharton, P.. (2006). Essentials of Edexcel Gcse Math/Higher. Lonsdale. tr. 63. ISBN 978-1-905-129-78-2.
  12. ^ Friberg, Jöran (2009). “A Geometric Algorithm with Solutions đồ sộ Quadratic Equations in a Sumerian Juridical Document from Ur III Umma”. Cuneiform Digital Library Journal. 3.
  13. ^ a b Stillwell, John (2004). Mathematics and Its History (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-95336-1.
  14. ^ The Cambridge Ancient History Part 2 Early History of the Middle East. Cambridge University Press. 1971. tr. 530. ISBN 978-0-521-07791-0.
  15. ^ Henderson, David W. “Geometric Solutions of Quadratic and Cubic Equations”. Mathematics Department, Cornell University. Truy cập ngày 28 tháng bốn năm 2013.
  16. ^ a b Aitken, Wayne. “A Chinese Classic: The Nine Chapters” (PDF). Mathematics Department, California State University. Truy cập ngày 28 tháng bốn năm 2013.
  17. ^ Smith, David Eugene (1958). History of Mathematics. Courier Dover Publications. tr. 380. ISBN 978-0-486-20430-7.
  18. ^ Smith, David Eugene (1958). History of Mathematics, Volume 1. Courier Dover Publications. tr. 134. ISBN 0-486-20429-4. Extract of page 134
  19. ^ a b c d Katz, V. J.; Barton, B. (2006). “Stages in the History of Algebra with Implications for Teaching”. Educational Studies in Mathematics. 66 (2): 185–201. doi:10.1007/s10649-006-9023-7.
  20. ^ a b Boyer, Carl B.; Uta C. Merzbach, rev. editor (1991). A History of Mathematics. John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-54397-7.
  21. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (1999), “Arabic mathematics: forgotten brilliance?”, Bộ tàng trữ lịch sử vẻ vang toán học tập MacTutor, Đại học tập St. Andrews "Algebra was a unifying theory which allowed rational numbers, irrational numbers, geometrical magnitudes, etc., đồ sộ all be treated as "algebraic objects"."
  22. ^ Jacques Sesiano, "Islamic mathematics", p. 148, in Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan chỉnh sửa (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-Western Mathematics, Springer, ISBN 1-4020-0260-2
  23. ^ Smith, David Eugene (1958). History of Mathematics. Courier Dover Publications. tr. 280. ISBN 978-0-486-20429-1.
  24. ^ Livio, Mario (2006). The Equation that Couldn't Be Solved. Simon & Schuster. ISBN 0743258215.
  25. ^ Ronan, Colin (1985). The Shorter Science and Civilisation in China. Cambridge University Press. tr. 15. ISBN 978-0-521-31536-4.
  26. ^ Struik, D. J.; Stevin, Simon (1958), The Principal Works of Simon Stevin, Mathematics (PDF), II–B, C. V. Swets & Zeitlinger, tr. 470
  27. ^ Heaton, H (1896). “A Method of Solving Quadratic Equations”. American Mathematical Monthly. 3 (10): 236–237. doi:10.2307/2971099. JSTOR 2971099.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

  • Quadratic Equation Solver
  • Solve Quadratic equations, see work shown and draw graphs
Các chủ thể chủ yếu tương quan cho tới những phương trình đại số
Bài toán Lừa và La | Biểu thức đại số | Chu kỳ toán | Công thức bậc tía | Công thức bậc nhì | Dạng bậc năm cơ bạn dạng | Định lý bất khả Abel | Định lý tối giản Casus | Định lý Viète | Hệ phương trình | Phương trình bậc nhì | Phương trình bậc tía | Phương trình bậc tứ | Phương trình bậc năm | Phương trình bậc sáu | Phương trình siêu việt Lambert | Phương trình tuyến tính