tập số nguyên

By Admin 08/11/2023 0
Cấu trúc đại số → lý thuyết nhóm
Lý thuyết nhóm

Thuật ngữ cơ bản

  • Nhóm con
  • Nhóm con cái chuẩn chỉnh tắc
  • Nhóm thương
  • Tích trực tiếp
  • Tích nửa trực tiếp
Đồng cấu nhóm
  • hạt nhân
  • ảnh
  • tổng trực tiếp
  • tích bện
  • đơn
  • hữu hạn
  • vô hạn
  • liên tục
  • nhân
  • cộng tính
  • cyclic
  • giao hoán
  • nhị diện
  • lũy linh
  • giải được
  • tác động
  • Từ vựng sử dụng nhập lý thuyết nhóm
  • Danh sách những chủ thể nhập lý thuyết nhóm

Nhóm hữu hạn

Bạn đang xem: tập số nguyên

Phân loại group đơn hữu hạn
  • cyclic
  • thay phiên
  • dạng Lie
  • sporadic
  • định lý Cauchy
  • định lý Lagrange
  • Định lý Sylow
  • Định lý Hall
  • p-nhóm
  • Nhóm abel sơ cấp
  • Nhóm Frobenius
  • Nhân tử Schur

Nhóm Mathieu

  • M11
  • M12
  • M22
  • M23
  • M24

Nhóm Conway

  • Co1
  • Co2
  • Co3

Nhóm Janko

  • J1
  • J2
  • J3
  • J4

Nhóm Fischer

  • F22
  • F23
  • F24
  • nhóm đối xứng Sn
  • Nhóm tứ Klein V
  • Nhóm nhị diện Dn
  • Nhóm Quaternion Q
  • Nhóm Dicyclic Dicn
  • Nhóm tách rạc
  • Lưới
  • Số nguyên vẹn ()
  • Nhóm tự động do

Nhóm tế bào đun

  • PSL(2, )
  • SL(2, )
  • Nhóm số học
  • Lưới
  • Nhóm hyperbolic

Tô pô và group Lie

  • Solenoid
  • Đường tròn
  • Tuyến tính tổng quát mắng GL(n)
  • Tuyến tính quan trọng SL(n)
  • Trực phú O(n)
  • Euclid E(n)
  • Trực phú quan trọng SO(n)
  • Unita U(n)
  • Unita quan trọng SU(n)
  • Symplectic Sp(n)
  • G2
  • F4
  • E6
  • E7
  • E8
  • Lorentz
  • Poincaré
  • Bảo giác
  • Vi đồng phôi
  • Vòng

Nhóm Lie vô hạn chiều

  • O(∞)
  • SU(∞)
  • Sp(∞)

Nhóm đại số

  • Nhóm đại số tuyến tính
  • Nhóm khả quy
  • Đa tạp phú hoán
  • Đường cong elliptic
  • x
  • t
  • s

Trong toán học tập, số nguyên được khái niệm một cơ hội phổ biến là một trong những hoàn toàn có thể được viết lách nhưng mà không tồn tại bộ phận phân số. Ví dụ: 21, 4, 0 và −2048 là những số nguyên vẹn, trong những khi 9,75, 5 1/2 và ko cần là số nguyên vẹn.

Tập hợp ý những số nguyên vẹn bao hàm 0, những số bất ngờ dương (1, 2, 3,...), còn được gọi là số đếm,[1][1] và những nghịch tặc hòn đảo quy tắc nằm trong của bọn chúng (là những số nguyên vẹn âm, tức là, −1, −2, −3, ...). Tập hợp ý những số nguyên vẹn thông thường được biểu thị bằng văn bản in đậm (Z) hoặc chữ rộng lớn với viền với vần âm "Z" bắt mối cung cấp kể từ giờ Đức Zahlen (nghĩa là "số").[2][3][4][5] là 1 trong tập trung con cái của tập trung những số hữu tỷ , cho tới lượt nó là 1 trong tập trung con cái của tập trung những số thực . Giống như tập trung những số bất ngờ, là tập trung vô hạn kiểm đếm được.

Các số nguyên vẹn tạo nên trở nên group nhỏ nhất và đai nhỏ nhất chứa chấp những số bất ngờ. Trong lý thuyết số đại số, những số nguyên vẹn đôi lúc được xem là số nguyên vẹn hữu tỉ nhằm phân biệt bọn chúng với những số nguyên vẹn đại số tổng quát mắng rộng lớn. Trên thực tiễn, số nguyên vẹn (hữu tỉ) là số nguyên vẹn đại số nhưng mà cũng chính là số hữu tỉ.

Ký hiệu[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu tượng hoàn toàn có thể được dùng làm biểu thị những tập trung không giống nhau, với cơ hội dùng không giống nhau trong số những người sáng tác không giống nhau: ,[2] hoặc so với những số nguyên vẹn dương, hoặc cho những số nguyên vẹn ko âm và cho những số nguyên vẹn không giống 0. Một số người sáng tác dùng ký hiệu cho những số nguyên vẹn không giống 0, trong những khi những người dân không giống dùng nó cho những số nguyên vẹn ko âm hoặc mang lại {–1, 1}. Bên cạnh đó, được dùng nhằm biểu thị tập dượt những số nguyên vẹn modulo p[2] (tức là tập dượt những lớp đồng dư của những số nguyên) hoặc tập dượt những số nguyên vẹn p -adic.[1][6][7]. vậy nên nếu như muốn dùng ký hiệu hoặc ký hiệu thì cần khái niệm lại bên trên đề đánh giá, nếu như bên trên đề không tồn tại khái niệm thì coi như đề này là sai. Có một trong những bài xích Việc minh chứng quy hấp thụ thông thường hoặc dùng nhằm loại lên đường tình huống không giống ko.Chúng tớ cần địa thế căn cứ nhập sách giáo khoa lớp 6 thực hiện địa thế căn cứ, nhập sách lớp 6 tập trung số nguyên vẹn chỉ mất kí hiệu là Z nên những lúc tất cả chúng ta mang lại đề nhưng mà với dùng ký hiệu không giống thông thường như hoặc thì tất cả chúng ta cần khái niệm bên trên đề là hoặc là tập trung những số bất ngờ không giống ko, nếu như không tồn tại khái niệm bên trên đề thì coi như đề này là sai

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Các số nguyên vẹn hoàn toàn có thể được xem là những điểm tách rốc, cơ hội đều nhau bên trên một trục số lâu năm vô hạn. Tại hình bên trên, những số nguyên vẹn ko âm được hiển thị bởi vì greed color lam và số nguyên vẹn âm red color.

Giống tựa như những số bất ngờ, là tập trung đóng góp với những quy tắc toán nằm trong và nhân, tức là tổng và tích của nhì số nguyên vẹn ngẫu nhiên là một trong những nguyên vẹn. Tuy nhiên, với việc bao hàm cả những số nguyên vẹn âm (và cần thiết là 0), , không phải như những số bất ngờ, cũng chính là tập trung đóng góp với quy tắc trừ.[8]

Các số nguyên vẹn tạo nên trở nên một đai đơn vị chức năng, vốn liếng là đai cơ bạn dạng nhất, bám theo nghĩa sau: so với ngẫu nhiên đai đơn vị chức năng này, đều phải có một quy tắc đồng cấu có một không hai kể từ những số nguyên vẹn nhập đai này. Thuộc tính phổ quát mắng này, rõ ràng là 1 trong đối tượng người dùng lúc đầu nhập loại đai, là đặc thù mang lại đai .

ko đóng góp với quy tắc phân chia, vì như thế thương của nhì số nguyên vẹn (ví dụ: 1 phân chia mang lại 2) hoàn toàn có thể ko là số nguyên vẹn. Mặc cho dù những số bất ngờ là đóng góp với quy tắc lũy quá, tuy nhiên những số nguyên vẹn thì ko (vì thành quả hoàn toàn có thể là 1 trong phân số Khi số nón là âm).

Bảng sau liệt kê một trong những đặc điểm cơ bạn dạng của quy tắc nằm trong và quy tắc nhân so với ngẫu nhiên số nguyên vẹn a, b và c:

Tính hóa học của quy tắc nằm trong và quy tắc nhân bên trên số nguyên
Phép cộng Phép nhân
Tính đóng: a + b là số nguyên a × b là số nguyên
Tính kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × c
Tính phú hoán: a + b = b + a a × b = b × a
Tồn bên trên thành phần đơn vị: a + 0 = a a × 1 = a
Tồn bên trên thành phần nghịch tặc đảo: a + (−a) = 0 Số nguyên vẹn có một không hai với thành phần nghịch tặc hòn đảo (gọi là đơn vị) là −1 và 1.
Thuộc tính phân phối: a × (b + c) = (a × b) + (a × c) và (a + b) × c = (a × c) + (b × c)
Không với ước số của 0: Nếu a × b = 0, thì a = 0 hoặc b = 0 (hoặc cả hai)

Trong ngữ điệu của đại số trừu tượng, năm tính chất thứ nhất được liệt kê phía trên xác minh rằng là 1 trong group abel với quy tắc nằm trong. Nó cũng là 1 trong group cyclic, vì như thế từng số nguyên vẹn không giống 0 đều hoàn toàn có thể được viết lách bên dưới dạng tổng hữu hạn 1 + 1 +... + 1 hoặc (−1) + (−1) +... + (−1). Trên thực tiễn, với quy tắc nằm trong là nhóm tuần trả vô hạn duy nhất — bám theo tức là ngẫu nhiên group tuần trả vô hạn này đều là đẳng cấu với .

Bốn tính chất thứ nhất được liệt kê phía trên được cho phép nhân bảo rằng cùng theo với quy tắc nhân là 1 trong monoid phú hoán. Tuy nhiên, ko cần từng số nguyên vẹn đều phải có nghịch tặc hòn đảo nhân (như tình huống của số 2), Tức là với quy tắc nhân ko cần là 1 trong group.

Tất cả những quy tắc kể từ bảng tính chất bên trên (ngoại trừ quy tắc cuối cùng), Khi được kết phù hợp với nhau, bảo rằng cùng theo với quy tắc nằm trong và quy tắc nhân là 1 trong đai phú hoán với thành phần đơn vị chức năng. Nó là nguyên vẹn khuôn mẫu của toàn bộ những đối tượng người dùng của cấu tạo đại số như thế. Chỉ những đẳng thức của biểu thức là đúng trong các mang lại toàn bộ những độ quý hiếm của đổi mới, thì cũng chính là đúng trong các ngẫu nhiên đai phú hoán với đơn vị chức năng này. Một số số nguyên vẹn không giống 0 ánh xạ cho tới 0 nhập một trong những đai chắc chắn.

Việc thiếu hụt những ước số của 0 trong những số nguyên vẹn (thuộc tính ở đầu cuối nhập bảng) Tức là đai phú hoán là 1 trong miền nguyên vẹn.

Việc thiếu hụt những quy tắc nghịch tặc hòn đảo của quy tắc nhân, tương tự với thực tiễn là ko cần là đóng góp với quy tắc phân chia, Tức là không phải là 1 trong ngôi trường. Trường nhỏ nhất chứa chấp những số nguyên vẹn bên dưới dạng một đai con cái là ngôi trường những số hữu tỉ. Quá trình thiết kế những số hữu tỉ kể từ những số nguyên vẹn hoàn toàn có thể được học theo sẽ tạo trở nên ngôi trường phân số của ngẫu nhiên miền nguyên vẹn này. Và ngược lại, chính thức kể từ ngôi trường số đại số (phần không ngừng mở rộng của số hữu tỉ), đai số nguyên vẹn của chính nó hoàn toàn có thể được trích xuất, bao hàm như thể đai con cái của chính nó.

Mặc cho dù quy tắc phân chia thường thì ko được khái niệm bên trên , quy tắc phân chia "với phần dư" được xác lập bên trên bọn chúng. Nó được gọi là quy tắc phân chia Euclid, và với đặc điểm cần thiết sau: mang lại nhì số nguyên vẹn a và b với b ≠ 0, tồn bên trên những số nguyên vẹn q và r có một không hai sao mang lại a = q × b + r và 0 ≤ r < |b|, ở đâu |b| biểu thị độ quý hiếm vô cùng của b.[9] Số nguyên vẹn q được gọi là thương và r được gọi là phần dư của quy tắc phân chia a mang lại b. Thuật toán Euclid nhằm tính ước số cộng đồng lớn số 1 sinh hoạt với cùng 1 chuỗi những quy tắc phân chia Euclid.

Một lần tiếp nữa, nhập ngữ điệu của đại số trừu tượng, phần bên trên bảo rằng là 1 trong đai Euclid. Vấn đề này ý niệm rằng là 1 trong đai ideal chủ yếu và ngẫu nhiên số nguyên vẹn dương nào thì cũng hoàn toàn có thể được viết lách bên dưới dạng tích của những số yếu tố bám theo một cơ hội cơ bạn dạng có một không hai.[10] Đây là lăm le lý cơ bạn dạng của số học tập.

Thuộc tính lý thuyết loại tự[sửa | sửa mã nguồn]

là 1 trong tập trung với trật tự trọn vẹn không tồn tại số lượng giới hạn bên trên hoặc bên dưới. Thứ tự động của được khái niệm là: :... −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 <... Một số nguyên vẹn là dương nế như đó to hơn 0 và âm nế như đó nhỏ rộng lớn 0. Số ko (0) được khái niệm là ko âm cũng ko dương.

Thứ tự động của những số nguyên vẹn tương quí với những quy tắc toán đại số Theo phong cách sau:

  1. Nếu a < b và c < d, thì a + c < b + d
  2. Nếu a < b và 0 < c, thì ac < bc.

Vì vậy, tớ Kết luận rằng cùng theo với trật tự bên trên là 1 trong đai với trật tự.

Các số nguyên vẹn là group abel với trật tự trọn vẹn ko tầm thông thường có một không hai với những thành phần dương được bố trí bám theo trật tự hợp lý và phải chăng.[11] Vấn đề này tương tự với tuyên phụ thân rằng ngẫu nhiên đai reviews Noether nào thì cũng là 1 trong ngôi trường — hoặc một đai định vị vô nằm trong cần thiết.

Xây dựng[sửa | sửa mã nguồn]

Representation of equivalence classes for the numbers −5 vĩ đại 5
Các điểm red color thể hiện tại những cặp số bất ngờ với trật tự. Các điểm red color được link là những lớp tương tự đại diện thay mặt cho những số nguyên vẹn greed color lam ở cuối loại.

Trong quy trình dạy dỗ học tập ở ngôi trường tè học tập, những số nguyên vẹn thông thường được khái niệm một cơ hội trực quan liêu là những số bất ngờ (dương), số 0 và những số đối của những số bất ngờ. Tuy nhiên, loại khái niệm này dẫn theo nhiều tình huống không giống nhau (mỗi quy tắc toán số học tập cần phải xác lập bên trên từng tổng hợp những loại số nguyên) và khiến cho việc minh chứng rằng những số nguyên vẹn tuân bám theo những lăm le luật số học tập không giống nhau trở thành tẻ nhạt nhẽo.[12] Do cơ, nhập toán học tập lý thuyết tập trung tân tiến, một cấu tạo trừu tượng hơn[13] được cho phép người tớ xác lập những quy tắc toán số học tập nhưng mà không tồn tại ngẫu nhiên phân biệt tình huống này thông thường được dùng để thay thế thế.[14] Do cơ, những số nguyên vẹn hoàn toàn có thể được thiết kế đầu tiên tựa như những lớp tương tự của những cặp số bất ngờ với trật tự (a,b).[15]

Trực giác là (a,b) là viết lách tắt của thành quả của quy tắc trừ a-b.[15] Để xác nhận kỳ vọng của tất cả chúng ta rằng 1 − 2 và 4 − 5 biểu thị nằm trong một trong những, tất cả chúng ta xác lập mối liên hệ tương tự ~ bên trên những cặp này với quy tắc sau:

Xem thêm: diên tích hình tròn

chỉ khi

Phép nằm trong và quy tắc nhân những số nguyên vẹn hoàn toàn có thể được khái niệm bám theo những quy tắc toán tương tự bên trên những số tự động nhiên;[15] bằng phương pháp dùng [(a,b)] nhằm biểu thị lớp tương tự với (a,b) là member, lớp này có:

Số đối (hoặc quy tắc nghịch tặc hòn đảo của quy tắc cộng) của một trong những nguyên vẹn giành được bằng phương pháp hòn đảo ngược trật tự của cặp:

Do cơ quy tắc trừ hoàn toàn có thể được khái niệm là quy tắc cùng theo với nghịch tặc hòn đảo của quy tắc cộng:

Thứ tự động chi phí chuẩn chỉnh bên trên những số nguyên vẹn được thể hiện với bất đẳng thức:

Khi và chỉ Khi

Dễ dàng xác minh rằng những khái niệm này sẽ không tùy theo việc lựa lựa chọn đại diện thay mặt của những lớp tương tự.

Mọi lớp tương tự với cùng 1 member có một không hai với dạng (n,0) hoặc (0,n) (hoặc cả nhì và một lúc). Số bất ngờ n được xác lập với lớp [(n,0)] (nghĩa là, những số bất ngờ được nhúng nhập những số nguyên vẹn bằng phương pháp ánh xạ gửi n cho tới [(n,0)]) và lớp [(0,n)] được ký hiệu −n (điều này bao hàm toàn bộ những lớp sót lại và mang lại lớp [(0,0)] gấp đôi tự −0 = 0.

Do cơ, [(a,b)] được ký hiệu là

Nếu những số bất ngờ được xác lập với những số nguyên vẹn ứng (sử dụng quy tắc nhúng được nhắc ở trên), thì quy ước này sẽ không đưa đến sự mơ hồ nước.

Ký hiệu này hồi phục trình diễn không xa lạ của những số nguyên vẹn là {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...}.

Một số ví dụ:

Trong khoa học tập PC lý thuyết, những cơ hội tiếp cận không giống nhằm thiết kế những số nguyên vẹn được dùng bởi vì những máy thám thính lăm le lý tự động hóa và những khí cụ viết lách lại thuật ngữ. Số nguyên vẹn được trình diễn bên dưới dạng những thuật ngữ đại số được thiết kế bằng phương pháp dùng một vài ba quy tắc toán cơ bạn dạng (ví dụ: zero, succ, pred) và, hoàn toàn có thể, dùng những số bất ngờ, được giả thiết là và đã được thiết kế (sử dụng cách thức Peano).

Tồn bên trên tối thiểu chục cơ hội thiết kế những số nguyên vẹn với vệt.[16] Các cấu tạo này không giống nhau bám theo một trong những cách: con số những quy tắc toán cơ bạn dạng được dùng mang lại cấu tạo, con số (thường là kể từ 0 cho tới 2) và những loại đối số được những quy tắc toán này chấp nhận; sự hiện hữu hoặc vắng vẻ mặt mũi của những số bất ngờ thực hiện đối số của một trong những quy tắc toán này và thực tiễn là những quy tắc toán này còn có cần là hàm tạo nên tự tại hay là không, tức là nằm trong một trong những nguyên vẹn hoàn toàn có thể được trình diễn chỉ bởi vì một hoặc nhiều số hạng đại số.

Kỹ thuật thiết kế những số nguyên vẹn được trình diễn phía trên nhập phần này ứng với tình huống rõ ràng nhập cơ với cùng 1 cặp quy tắc toán cơ bạn dạng duy nhất nhận đối số là nhì số bất ngờ và và trả về một trong những nguyên vẹn (bằng ). Thao tác này sẽ không tự tại vì như thế số nguyên vẹn 0 hoàn toàn có thể được viết lách là cặp (0,0), hoặc cặp (1,1) hoặc cặp (2,2), v.v. Kỹ thuật thiết kế này được dùng bởi vì trợ lý minh chứng Isabelle; song, nhiều khí cụ không giống dùng những chuyên môn thiết kế thay cho thế, xứng đáng xem xét là những chuyên môn dựa vào những cấu tạo tự tại, giản dị và đơn giản rộng lớn và hoàn toàn có thể được tiến hành hiệu suất cao rộng lớn nhập PC.

Máy tính[sửa | sửa mã nguồn]

Một số nguyên vẹn thông thường là 1 trong loại tài liệu nguyên vẹn thủy trong những ngữ điệu PC. Tuy nhiên, loại tài liệu số nguyên vẹn chỉ hoàn toàn có thể đại diện thay mặt cho 1 tập trung con cái của toàn bộ những số nguyên vẹn, vì như thế PC thực tiễn với dung tích hữu hạn. Bên cạnh đó, nhập trình diễn quy tắc bù nhì phổ cập, khái niệm cố hữu của vệt phân biệt thân mật "âm" và "không âm" chứ không "âm, dương và 0 ". (Tuy nhiên, chắc hẳn rằng PC hoàn toàn có thể xác lập được liệu một độ quý hiếm số nguyên vẹn với thực sự là số dương hay là không.) Các loại tài liệu xấp xỉ số nguyên vẹn có tính lâu năm cố định và thắt chặt (hoặc tập trung con) được ký hiệu là int hoặc Integer nhập một trong những ngữ điệu xây dựng (chẳng hạn như Algol68, C, Java, Delphi, v.v..).

Các trình diễn số nguyên vẹn có tính lâu năm thay cho thay đổi, ví dụ như bignum, hoàn toàn có thể tàng trữ ngẫu nhiên số nguyên vẹn này vừa vặn với bộ nhớ lưu trữ của sản phẩm tính. Các loại tài liệu số nguyên vẹn không giống được lên kế hoạch với độ cao thấp cố định và thắt chặt, thông thường là một trong những bit là lũy quá của 2 (4, 8, 16, v.v.) hoặc một trong những chữ số thập phân (ví dụ: 9 hoặc 10).

Lực lượng[sửa | sửa mã nguồn]

Lực lượng của tập trung những số nguyên vẹn bởi vì ℵ0 (aleph-null). Điều được đơn giản minh chứng bằng sự việc thiết kế một tuy vậy ánh, cơ là 1 trong hàm đơn ánh và toàn ánh kể từ cho tới . Nếu như tiếp sau đó đánh giá hàm sau:

{... (−4,8) (−3,6) (−2,4) (−1,2) (0,0) (1,1) (2,3) (3,5)...}

Nếu như thì tớ đánh giá hàm sau:

Xem thêm: so gddt can tho

{... (−4,8) (−3,6) (−2,4) (−1,2) (0,1) (1,3) (2,5) (3,7)...}

Nếu miền bị giới hạn nhập vậy thì từng và từng thành phần của với cùng 1 và có một thành phần ứng của và bám theo khái niệm của đồng đẳng lực lượng thì nhì tập trung này còn có lực lượng cân nhau.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Số vô tỉ
  • Số hữu tỉ
  • Số nguyên vẹn tố
  • Số tự động nhiên
  • Số đại số
  • Số siêu việt
  • Số thực
  • Số phức
  • Số siêu phức

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ a b c Weisstein, Eric W., "Số nguyên" kể từ MathWorld.
  2. ^ a b c “Compendium of Mathematical Symbols”. Math Vault (bằng giờ Anh). 1 mon 3 năm 2020. Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  3. ^ Weisstein, Eric W. “Integer”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  4. ^ Miller, Jeff (29 mon 8 năm 2010). “Earliest Uses of Symbols of Number Theory”. Bản gốc tàng trữ ngày 31 mon một năm 2010. Truy cập ngày đôi mươi mon 9 năm 2010.
  5. ^ Peter Jephson Cameron (1998). Introduction vĩ đại Algebra. Oxford University Press. tr. 4. ISBN 978-0-19-850195-4. Bản gốc tàng trữ ngày 8 mon 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 mon hai năm 2016.
  6. ^ Keith Pledger and Dave Wilkins, "Edexcel AS and A Level Modular Mathematics: Chip Core Mathematics 1" Pearson 2008
  7. ^ LK Turner, FJ BUdden, D Knighton, "Advanced Mathematics", Book 2, Longman 1975.
  8. ^ “Integer | mathematics”. Encyclopedia Britannica (bằng giờ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  9. ^ “The Definitive Higher Math Guide vĩ đại Long Division and Its Variants — for Integers”. Math Vault (bằng giờ Anh). 24 mon hai năm 2019. Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  10. ^ Serge, Lang (1993). Algebra (ấn bạn dạng 3). Addison-Wesley. tr. 86–87. ISBN 978-0-201-55540-0.
  11. ^ Warner, Seth (2012). Modern Algebra. Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. Theorem đôi mươi.14, p. 185. ISBN 978-0-486-13709-4. Bản gốc tàng trữ ngày 6 mon 9 năm 2015. Truy cập ngày 29 tháng tư năm 2015.
  12. ^ Mendelson, Elliott (2008). Number Systems and the Foundations of Analysis. Dover Books on Mathematics. Courier Dover Publications. tr. 86. ISBN 978-0-486-45792-5. Bản gốc tàng trữ ngày 8 mon 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 mon hai năm 2016.
  13. ^ Ivorra Castillo: Álgebra
  14. ^ Frobisher, Len (1999). Learning vĩ đại Teach Number: A Handbook for Students and Teachers in the Primary School. The Stanley Thornes Teaching Primary Maths Series. Nelson Thornes. tr. 126. ISBN 978-0-7487-3515-0. Bản gốc tàng trữ ngày 8 mon 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 mon hai năm 2016.
  15. ^ a b c Campbell, Howard E. (1970). The structure of arithmetic. Appleton-Century-Crofts. tr. 83. ISBN 978-0-390-16895-5.
  16. ^ Garavel, Hubert (2017). On the Most Suitable Axiomatization of Signed Integers. Post-proceedings of the 23rd International Workshop on Algebraic Development Techniques (WADT'2016). Lecture Notes in Computer Science. 10644. Springer. tr. 120–134. doi:10.1007/978-3-319-72044-9_9. Lưu trữ bạn dạng gốc ngày 26 mon một năm 2018. Truy cập ngày 25 mon một năm 2018.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

Wikimedia Commons đạt thêm hình hình ảnh và phương tiện đi lại truyền đạt về Số nguyên.
  • Số nguyên vẹn bên trên MathWorld.