tích của vectơ với 1 số

1. Lý thuyết cơ bạn dạng về tích vectơ với cùng một số

1.1. Định nghĩa tích vectơ với cùng một số

Bạn đang xem: tích của vectơ với 1 số

Tích của vectơ với một số trong những được khái niệm như sau:

Cho một số trong những thực $k\neq 0$, vectơ $\vec{a}\neq 0$. 

Tích của vectơ $\vec{a}$ với một số trong những thực $k\neq 0$ là một vectơ, kí hiệu k$\vec{a}$, nằm trong phía với vectơ $\vec{a}$ nếu như k>0, ngược phía với vectơ $\vec{a}$ nếu như k<0, vecto k$\vec{a}$ có tính lâu năm bởi vì $\left | k \right |\left | \vec{a} \right |$.

Quy ước: $0\vec{a}$=0; k$\vec{0}$=$\vec{0}$

1.2. Tính hóa học tích của vectơ với 1 số 

Tích của vectơ với một số trong những sở hữu những tính chất:

a, Tính phân phối với luật lệ nằm trong vectơ:

$k(\vec{m}+\vec{n})=k\vec{m}+k\vec{n}$

b, Tính phân phối với luật lệ với những số:

$(a+b)\vec{x}=a\vec{x}+b\vec{x}$

c, Tính kết hợp:

$a(\vec{bc})=(ab)\vec{c}$

d, $1\vec{a}=\vec{a}, (-1)\vec{a}=-\vec{a}$

e, $k\vec{a}=0 \Leftrightarrow k=0$ hoặc $\vec{a}=0$

Áp dụng: 

• Nếu E là trung điểm của đoạn trực tiếp MN thì với từng điểm I, tao có: 

               $\vec{IM}+\vec{IN}=2\vec{IE}$

• Nếu U là trọng tâm tam giác NCT thì từng điểm I tao có:

               $\vec{IN}+\vec{IC}+\vec{IT}=3\vec{IU}$

1.3. Điều khiếu nại nhằm nhị vectơ nằm trong phương

• Điều khiếu nại cần thiết và đầy đủ nhằm vectơ $\vec{a}$ và vectơ $\vec{b} (\vec{b}\neq 0)$ nằm trong phương là tồn bên trên một số trong những k sao mang lại $\vec{a}=k\vec{b}$.

• Ba điểm phân biệt M, N, O trực tiếp sản phẩm Khi và chỉ Khi sở hữu số $k\neq 0$ để $\vec{MN}=k\vec{MO}$.

1.4. Cách phân tách một vectơ trở nên nhị vectơ ko nằm trong phương

Cho vectơ $\vec{a}$ và vectơ $\vec{b}$ là nhị vectơ ko nằm trong phương. Khi bại liệt từng vectơ kđều được màn biểu diễn một cơ hội có một không hai theo dõi nhị vecto $\vec{a},\vec{b}$: $\vec{k}=m\vec{a}+n\vec{b}$, vô bại liệt m, n là những số thực có một không hai.

Nắm đầy đủ kiến thức và kỹ năng Toán ôn thi đua chất lượng tốt nghiệp trung học phổ thông ngay!

2. Một số bài xích luyện tích của vectơ với cùng một số

2.1. Tính phỏng lâu năm vectơ

Phương pháp giải: Sử dụng khái niệm và những quy tắc nằm trong, trừ những vectơ nhằm dựng vectơ chứa chấp tích của vectơ với một số trong những, kết phù hợp với những lăm le lý Pytago, hệ thức lượng vô tam giác vuông nhằm tính phỏng lâu năm vectơ.

Ví dụ 1: Tam giác ABC đều, cạnh a, lấy M là trung điểm cạnh BC. Dựng những vectơ tiếp sau đây và tính phỏng lâu năm của chúng:

a, $\vec{MA}+\frac{1}{2} \vec{CB}$

b, $\vec{BA}-\frac{1}{2} \vec{BC}$

c, $2\vec{AC}+\frac{11}{2} \vec{AB}$

d, $\frac{5}{2}\vec{MB}+\frac{3}{4}\vec{MA}$

Lời giải: 

a, Ta có: $\frac{1}{2}\vec{CB}=\vec{CM}$

Theo quy tắc 3 điểm tao được: 

$\frac{1}{2}\vec{CB}+\vec{MA}=\vec{CM}+\vec{MA}=\vec{CA}$

Vậy: $\left | \frac{1}{2} \vec{CB+\vec{MA}}\right |=\left | \vec{CA} \right |=a$

b, Vì $\vec{BM}=\frac{1}{2}\vec{BC}$ nên theo dõi quy tắc trừ tao có:

$\vec{BA}-\frac{1}{2}\vec{BC}=\vec{BA}-\vec{BM}=\vec{MA}$

Theo lăm le lý Pytago tao có: $MA=\sqrt{AB^{2}-BM^{2}}=\sqrt{a^{2}-\left ( \frac{a}{2} \right )^{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vậy, $\left | \vec{BA}-\frac{1}{2}BC \right |=\vec{MA}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

c, Lấy điểm N là trung điểm của đoạn AB, Q đối xứng C qua loa A, P.. là đỉnh của hình bình hành APQN

d, Lấy điểm K nằm trong đoạn AM sao mang lại $MK=\frac{3}{4}MA$, điểm H nằm trong tia $\vec{BM}$ sao mang lại $\vec{MH}=\frac{5}{2}\vec{MB}$.

Ví dụ 2: Hình vuông ABCD sở hữu cạnh a

a, Chứng tỏ rằng $\vec{u}=a\vec{MA}-3\vec{MB}+\vec{MC}-2\vec{MD}$ ko tùy theo địa điểm của điểm M.

b, Tính $\left | \vec{u} \right |$.

Lời giải:  

a, Giả sử O là tâm hình vuông vắn ABCD. sát dụng quy tắc 3 điểm tao có: 

$\vec{u}=4\vec{MO}+\vec{OA}-3\vec{MO}+\vec{OB}+\vec{MO}+\vec{OC}-2\vec{MO}+\vec{OD}=4\vec{OA}-3\vec{OB}+\vec{OC}-2\vec{OD}$

Mà: $\vec{OD}=-\vec{OB}, \vec{OC}=-\vec{OA}$ nên $\vec{u}=3\vec{OA}-\vec{OB}$

=> Vecto $\vec{u}$ ko dựa vào địa điểm của điểm M.

Xem thêm: toán 11 phương trình lượng giác cơ bản

b, Lấy A' bên trên $\vec{OA}$ sao mang lại OA'=3OA

Khi đó: $\vec{OA'}=3\vec{OA}\Rightarrow \vec{u}=\vec{OA'}-\vec{OB}=\vec{BA'}$

Mặt khác:

$\vec{BA'}=\sqrt{OB^{2}+(OA')^{2}}=\sqrt{OB^{2}+9OA^{2}}=a\sqrt{5}\Rightarrow \vec{u}=a\sqrt{5}$

2.2. Tìm một điểm vừa lòng một đẳng thức vectơ mang lại trước

Phương pháp giải: 

• Biến thay đổi đẳng thức vectơ trở nên dạng $\vec{AN}=\vec{a}$, điểm A và $\vec{a}$ vẫn biết. Khi bại liệt tồn bên trên có một không hai một điểm N sao mang lại $\vec{AN}=\vec{a}$. Để dựng điểm N, tao lấy điểm A thực hiện gốc, dựng một vectơ bởi vì vectơ $\vec{a}$, kể từ bại liệt suy rời khỏi được điểm ngọn là vấn đề N.

• Biến thay đổi về đẳng thức vectơ vẫn biết của trọng tâm tam giác và trung điểm đoạn trực tiếp.

Ví du 1: Cho tứ giác ABCD. Tìm những điểm M,N,P. sao cho:

a, $2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}=\vec{0}$
b, $\vec{NA}+\vec{NB}+\vec{NC}+\vec{ND}=\vec{0}$
c, $3\vec{PA}+\vec{PB}+\vec{PC}+\vec{PD}=\vec{0}$

Lời giải:

a, Giả sử điểm I là trung điểm đoạn BC

=> $\vec{MB}+\vec{MC}=2\vec{MI}$

Do đó: $2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}=\vec{0}$

$2\vec{MA}+2\vec{MI}=\vec{0}\Leftrightarrow \vec{MA}+\vec{MI}=\vec{0}$

=> Điểm M là trung điểm đoạn trực tiếp AI

b, Giả sử K,H là trung điểm của AB, CD tao có:

$\vec{NA}+\vec{NB}+\vec{NC}+\vec{ND}=\vec{0}\Leftrightarrow 2\vec{NK}+2\vec{NH}=\vec{0}$

=> Điểm N là trung điểm đoạn trực tiếp KH

c, Giả sử G là trọng tâm của tam giác BCD tao có:

$\vec{PB}+\vec{PC}+\vec{PD}=3\vec{PG}$

=> $3\vec{PA}+\vec{PB}+\vec{PC}+\vec{PD}=\vec{0}$

Điểm P.. là trung điểm đoạn trực tiếp AG.

Ví dụ 2: A, B là nhị điểm mang lại trước, nhị số thực $\alpha ,\beta $ vừa lòng $\alpha+\beta\neq 0$. Chứng tỏ rằng: tồn bên trên có một không hai một điểm I sao mang lại $\alpha\vec{IA}+\beta \vec{IB}=\vec{0}$. Từ bại liệt suy rời khỏi được $\alpha\vec{MA}+\beta \vec{MB}=(\alpha +\beta )\vec{MI}$ (M là vấn đề bất kì).

Lời giải: 

2.3. Chứng minh đẳng thức vectơ

Phương pháp giải: sát dụng những loài kiến thức: đặc thù vectơ, quy tắc thân phụ điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc luật lệ trừ, đặc thù trung điểm, đặc thù trọng tâm tam giác nhằm đổi khác.

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD. Hai điểm I,J là trung điểm của AB, CD. Điểm O là trung điểm của IJ. Chứng minh:

1. $\vec{BD}+\vec{AC}=2\vec{IJ}$

2. $\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}+\vec{OD}=\vec{0}$

3. Với điểm M bất kì: $\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD}=4\vec{MO}$

Lời giải: 

Ví dụ 2: Tam giác ABC sở hữu AB=c, CA=b, BC=a, G là trọng tâm. Giả sử D,E,F theo lần lượt là hình chiếu của trọng tâm G lên những cạnh AB, AC,BC. Chứng minh:

$a^{2}\vec{GD}+b^{2}\vec{GE}+c^{2}\vec{GF}=\vec{0}$

Lời giải: 

Đăng ký tức thì sẽ được những thầy cô tổ hợp kiến thức và kỹ năng và xây cất quãng thời gian ôn thi đua sớm kể từ bây giờ

Hy vọng nội dung bài viết bên trên phía trên đã hỗ trợ những em tóm được kiến thức và kỹ năng về tích của vectơ với một số trong những. Mé cạnh việc học tập lý thuyết những em cần thiết rèn luyện thêm thắt những dạng bài xích luyện hoặc gặp gỡ để sở hữu được bài xích đánh giá môn Toán đạt thành phẩm cao. Bên cạnh đó những em hãy truy vấn Vuihoc.vn và ĐK khóa đào tạo và huấn luyện tức thì kể từ thời điểm ngày hôm nay nhằm học hành chất lượng tốt rộng lớn nhé!

Xem thêm: toán phép nhân phân số