Ước số chung lớn nhất

Bách khoa toàn thư hé Wikipedia

Trong toán học tập, ước số cộng đồng rộng lớn nhất (ƯCLN) hoặc ước cộng đồng rộng lớn nhất (ƯCLN) của nhị hoặc nhiều số nguyên vẹn là số nguyên vẹn dương lớn số 1 là ước số cộng đồng của những số bại liệt. Ví dụ, ước cộng đồng lớn số 1 của 6 và 15 là 3 vì như thế và .

Bạn đang xem: uoc chung

Trong giờ Anh, ước cộng đồng lớn số 1 gọi là greatest common divisor (GCD), greatest common factor (GCF),^[1] highest common factor (HCF),^[2] greatest common measure (GCM),^[3] hoặc highest common divisor (HCD).^[4]

Trong tình huống toàn bộ số nguyên vẹn đều vì thế 0 thì bọn chúng không tồn tại ƯCLN vì như thế Khi bại liệt từng số đương nhiên không giống không được đều là ước cộng đồng của những số bại liệt. Nếu trong những số bại liệt sở hữu tối thiểu một vài vì thế 0 và tối thiểu một vài không giống 0 thì ƯCLN của bọn chúng vì thế ƯCLN của những số không giống 0.

Tổng quan[sửa | sửa mã nguồn]

Ký hiệu[sửa | sửa mã nguồn]

Ước cộng đồng lớn số 1 của a₀, a₁, a₂,... a_n được ký hiệu là ƯCLN(a₀, a₁, a₂,... a_n)

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Tìm ước cộng đồng lớn số 1 của 27 và 45?

Ta có:

Những số nằm trong cả nhị list được gọi là những ước cộng đồng của 27 và 45:

Trong bại liệt số lớn số 1 là 9. Vậy 9 là ước cộng đồng lớn số 1 của 27 và 45. Viết UCLN(27,45)=9

Số thành phần nằm trong nhau[sửa | sửa mã nguồn]

Các số được gọi là số thành phần bên nhau nếu như ước cộng đồng lớn số 1 của bọn chúng vì thế 1. Chẳng hạn, 9 và 28 là nhị số thành phần bên nhau.

Xem thêm: logarit công thức

Ước cộng đồng lớn số 1 được dùng để lấy một phân số về dạng phân số tối giản. Chẳng hạn, ƯCLN(42, 56)=14, bởi vậy,

Các tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi ước cộng đồng của những số là ước của ƯCLN của những só bại liệt.
Với những số nguyên vẹn a₀, a₁, a₂,... a_n, ƯCLN(a₀, a₁, a₂,... a_n) rất có thể được khái niệm tương tự như số nguyên vẹn dương d nhỏ nhất sở hữu dạng d = vô bại liệt x_k là những số nguyên vẹn. Định lý này được gọi là đẳng thức Bézout. Các số x_k rất có thể tính nhờ Giải thuật Euclid không ngừng mở rộng.
ƯCLN(a, 0) =|a|, với từng a ≠ 0, vì như thế từng số không giống 0 ngẫu nhiên là ước của 0, và ước lớn số 1 của a là|a|. Đây là tình huống hạ tầng vô thuật toán Euclid.
Nếu a là ước của tích b·c, và ƯCLN(a, b) = d, thì a/d là ước của c.
Nếu m là số nguyên vẹn dương, thì ƯCLN(ma₀, ma₁, ma₂,...ma_n) = m · ƯCLN(a₀, a₁, a₂,... a_n).
Nếu m là số nguyên vẹn ngẫu nhiên, thì ƯCLN(a + m · b, b) = ƯCLN(a, b). Nếu m ước cộng đồng (khác 0) của a và b, thì UCLN(a/m, b/m) = ƯCLN(a, b)/m.
ƯCLN là 1 hàm sở hữu tính nhân theo đuổi nghĩa sau: nếu như những số a₁, a₂,...,a_n là những số thành phần bên nhau, thì ƯCLN(a₁ · a₂ · ... · a_n, b) = ƯCLN(a₁, b) · ƯCLN (a₂, b) · ... · ƯCLN (a_n, b).
ƯCLN là hàm uỷ thác hoán: ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, a).
ƯCLN là hàm kết hợp: ƯCLN(a,b,c)= ƯCLN(a, ƯCLN(b, c)) = ƯCLN(ƯCLN(a, b), c).
ƯCLN(a, b) mối liên hệ ngặt nghèo với BCNN(a, b): tao có

ƯCLN(a, b) · BCNN(a, b) = a · b.

Công thức này thông thường được dùng để làm tính BCNN của 2 số. Dạng không giống của quan hệ này là đặc điểm phân phối:

BCNN(a, ƯCLN(a₀, a₁, a₂,... a_n)) = ƯCLN(BCNN(a, a₀), BCNN(a, a₁), BCNN(a,a₂),...,BCNN(a,a_n)).

Nếu dùng khái niệm ƯCLN(0, 0) = 0 và BCNN(0, 0) = 0 thì Khi bại liệt luyện những số đương nhiên trở nên một dàn khá đầy đủ phân phối với ƯCLN.
Trong Hệ tọa chừng Descartes, ƯCLN(a, b) trình diễn số những điểm với tọa chừng nguyên vẹn bên trên đoạn trực tiếp nối những điểm (0, 0) và (a, b), trừ chủ yếu điểm (0, 0).

Tính toán[sửa | sửa mã nguồn]

Tìm ước cộng đồng lớn số 1 bằng phương pháp phân tách rời khỏi quá số nguyên vẹn tố[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý cơ phiên bản của số học tập bảo rằng từng số nguyên vẹn dương to hơn 1 rất có thể trình diễn một cơ hội độc nhất dạng tích những số thành phần (nếu ko nói tới trật tự của những quá số). Như vậy những ăn ý số rất có thể coi như thể những thành phần cấu trở thành ăn ý số. Ví dụ:

Ở phía trên tất cả chúng ta sở hữu ăn ý số 90 tạo ra trở thành vì thế một nguyên vẹn tử 2, nhị nguyên vẹn tử 3 và một nguyên vẹn tử 5.

Kiến thức này rất có thể chung tất cả chúng ta thám thính ƯCLN của một hội tụ những số.

Ví dụ: Tìm độ quý hiếm của ƯCLN(12, 32, 60).

Đầu tiên, tao phân tách từng số trở thành dạng thu thập quá những số thành phần.

Với từng quá số thành phần có chung vô toàn bộ những số, nâng lũy quá bậc thấp nhất, tích của bọn chúng cho tới tao độ quý hiếm ƯCLN cần thiết thám thính. Thừa số 2 sở hữu ở cả phụ vương số, sở hữu bậc thấp nhất là 2². Do đó:

Trên thực tiễn cách thức này chỉ sử dụng cho những số nhỏ. Việc phân tách những số rộng lớn rời khỏi quá số thành phần tổn thất thật nhiều thời hạn.

Xem thêm: thpt gia dinh

Để thám thính ƯCLN của 2 số đương nhiên thì cách thức hiệu suất cao là giải thuật Euclid dựa vào sản phẩm thường xuyên những luật lệ phân tách sở hữu dư.

Tính qua chuyện bội số cộng đồng nhỏ nhất[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu a và b là những số không giống ko, thì ước cộng đồng lớn số 1 của a và b rất có thể tính qua chuyện bội cộng đồng nhỏ nhất (BCNN) của a và b:

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

^ Kelley, W. Michael (2004), The Complete Idiot's Guide to lớn Algebra, Penguin, tr. 142, ISBN 9781592571611.
^ Jones, Allyn (1999), Whole Numbers, Decimals, Percentages and Fractions Year 7, Pascal Press, tr. 16, ISBN 9781864413786.
^ Barlow, Peter; Peacock, George; Lardner, Dionysius; Airy, Sir George Biddell; Hamilton, H. Phường.; Levy, A.; De Morgan, Augustus; Mosley, Henry (1847), Encyclopaedia of Pure Mathematics, R. Griffin and Co., tr. 589.
^ Hardy & Wright (1979, tr. 20)

Đọc thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Donald Knuth. The Art of Computer Programming, Volume 2: Seminumerical Algorithms, Third Edition. Addison-Wesley, 1997. ISBN 0-201-89684-2. Section 4.5.2: The Greatest Common Divisor, pp. 333–356.
Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to lớn Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 31.2: Greatest common divisor, pp. 856–862.
Saunders MacLane và Garrett Birkhoff. A Survey of Modern Algebra, Fourth Edition. MacMillan Publishing Co., 1977. ISBN 0-02-310070-2. 1-7: "The Euclidean Algorithm."